对于acosx+bsinx型函数，我们可以如此变形acosx+bsinx=Sqrt(a^2+b^2)(acosx/Sqrt(a^2+b^2)+bsinx/Sqrt(a^2+b^2))，令点(b,a)为某一角φ终边上的点，则sinφ=a/Sqrt(a^2+b^2),cosφ=b/Sqrt(a^2+b^2) 　　∴acosx＋bsinx＝Sqrt(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b)) 　　这就是辅助角公式．

设要证明的公式为
acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M) (tanM=a/b) 
　　以下是证明过程： 
　设acosA+bsinA=xsin(A+M) 
　∴acosA+bsinA=x((a/x)cosA+(b/x)sinA) 
　由题，（a/x)^2+(b/x)^2=1,sinM=a/x,cosM=b/x 
　∴x=√(a^2+b^2) 
　∴acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=a/b

【辅助角公式的应用】
　例1
 求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值 
设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k 
　∴√[1+(-2k)^2]sin(θ+α)=√5k 
　平方得k^2=sin^2(θ+α)/[5-4sin^2(θ+α)] 
　令t=sin^2(θ+α) t∈[0,1] 
　则k^2=t/(5-4t)=1/(5/t-4) 
　当t=1时 有kmax=1

【三角函数（Trigonometric）】
是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

直角三角定义
　　它有六种基本函数(初等基本表示)：三角函数数值表
（斜边为r，对边为y，邻边为x。） 
在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，
设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）
有正弦函数 sinθ=y/r
 正弦（sin）:角α的对边比斜边 
　　余弦函数 cosθ=x/r 
余弦（cos）:角α的邻边比斜边 
正切函数 tanθ=y/x 
正切（tan）:角α的对边比邻边 
余切函数 cotθ=x/y 
余切（cot）:角α的邻边比对边 
　　正割函数 secθ=r/x 
正割（sec）:角α的斜边比邻边 
　　余割函数 cscθ=r/y 
余割（csc）:角α的斜边比对边 
以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 
正矢函数 versinθ =1-cosθ 
余矢函数 coversθ =1-sinθ 
sinα、cosα、tanα的定义域： 
sinα定义域无穷，值域【-1，+1】 
　　cosα定义域无穷，值域【-1，+1】 
tanα的定义域（-π/2+2kπ，π/2+2kπ），k属于整数，值域无穷

单位圆定义
　　六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：
　x^2+y^2 = 1

图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 
　　对于大于 2π 或小于 −2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数： 　　对于任何角度 θ 和任何整数 k。 　　周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”（primitive period）。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π 弧度或 360 度；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180 度。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数可以定义为： 
　在正切函数的图像中，在角 kπ 附近变化缓慢，而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷。

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别是，对于这个圆的弦 AB，这里的 θ 是对向角的一半，sin(θ) 是 AC（半弦），这是印度的 Aryabhata（AD 476–550）介入的定义。cos(θ) 是水平距离 OC，versin（θ） = 1 − cos(θ) 是 CD。tan(θ) 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cot(θ) 是另一个切线段 AF。 sec(θ) = OE 和 csc(θ) = OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsec（θ） = sec(θ) − 1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2（90 度）的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

由题，（a/x)^2+(b/x)^2=1,sinM=a/x,cosM=b/x
为什么

回复：3楼
由题，（a/x)^2+(b/x)^2=1,sinM=a/x,cosM=b/x
为什么

回复：13楼
（a/x)^2+(b/x)^2=1是sinX^2+cosX^2=1（定理，同角三角函数的基本关系。）
sinM=a/x,cosM=b/x
放在单位圆里，
必修4 P11 图 1.2-2