假设满足在真正的 ω 上成立的所有真命题的集合 A 的 「ω」 就是真正的 ω,令 ZFC∪A = T,则 T 可证明 ω 满足的真命题集就是 A。接下来在 T 中,通过扩张集合论语言,即加入 ω 个常元符号 {k_n:n∈ω}∪{Ω},并令 Z∪A∪{∃xφ_n(x)∧x=k_n:n∈ω}∪{k_n<Ω:n∈ω}∪{Ω<「ω」},其中 Z 就是没有 FC 的 ZFC,或者是 ZFC 可以证明其一致性的其它能够证明存在 ω 的理论,「ω」便是该理论可以证明存在的 ω,φ_n(x) 则是其可证明存在的自然数 n 唯一具有的性质。换言之,这个理论证明存在的「ω」即满足 A 却又多出了一个大于所有自然数的异物——Ω。而这可能(不矛盾)吗?
称 k 是弱紧致基数,当且仅当仅含 k 个非逻辑符号的基数为 k 的语言的任意基数为 k 的理论 ∑,∑ 的基数小于 k 的子集都一致的话,则 ∑ 本身也是一致的。
而对于 Z∪A∪{∃xφ_n(x)∧x=k_n:n∈ω}∪{k_n<Ω:n∈ω}∪{Ω<「ω」} 的任一有穷子集 ∑,T 都可以证明 ∑ 是一致的,因为这些 ∑ 只包含有穷个涉及 Ω 的语句,故 Ω 都可以被解释为一个足够大的自然数。
那么因为 ω 是弱紧致基数,所以 Z∪A∪{∃xφ_n(x)∧x=k_n:n∈ω}∪{k_n<Ω:n∈ω}∪{Ω<「ω」} 也是一致无矛盾的,T 就可以证明存在一个 「ω」,其满足 A 却并不是真正的 ω。
换言之,即使是人们关于真正的 ω 所能诉说的所有事实,都仍不足以言说把握真正的 ω,是真真正正的超越语言。