如何用直觉理解这个问题？

你的理解肯定是有问题的，什么叫"比1大很少很少的数"?是1.001吗？肯定不是，因为1.00001也收敛，但并不大于1.001。那么问，这个数到底是几？你肯定是写不出这样一个数的，因为你不管写什么数都无法传递正确的意思。像这种"比1大很少很少的数"模棱两可的说法是很难在逻辑上站住脚的，因为根本就不存在这样的数(题外话：当初微积分建立的时候牛顿等人也是用了类似的模棱两可的描述方法，结果逻辑上的漏洞一大堆，然后被一些神学论者攻击，导致了第二次数学危机。可以去百度“第二次数学危机”)

不过可以这么去理解。1/n^p确实在p=1的时候是临界情形。那么当p>1时，可以看成1/n*(1/n^(p-1))。这就是说，1/n刚好不够收敛，那么需要在分母多乘上一些趋于∞的东西让分母变得更大一点或许就能收敛了。这个多乘上的东西可以是关于n的幂函数n^(p-1)，只要p>1，那么n^(p-1)->∞，那么收敛。但并不是乘上所有趋于∞的东西都能一定让分母收敛。换成lnn就不行了。你应该学过，在趋于∞的时候，任何一个指数>0的幂函数x^p都比对数函数lnx增长的快。所以1/n乘上任何指数>0的幂函数n^(p-1)能保证收敛，但是乘上比任何幂函数增长速度都慢的对数函数lnn那就没法保证一定收敛了

我从函数角度给你一个直观，原函数为ln ln n，无上界发散

你的困扰在于x^p只要p大于1它就是x乘以另一个x^（p-1）次幂的幂函数，幂函数不管指数多么小，增长率还是大于对数函数的，所以1/x^p是收敛，1/xlnx发散所以这个问题的实质是幂函数和对数函数增长率的比较