来个大佬帮帮孩子吧

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有限情况好办，任何连通集都不能写做两个不交闭集的并。至于无限情况，我还没找到初等解法，你要是乐意深挖的话，看engelking那个书第358页6.1.27

很容易证明。
至多可数个两两不交的闭区间序列为{In：n∈N+且n>2}，因为指标集是自然数，且元素间两两不交，由选择公理（集合论ZFC公理之一）可知:
此闭区间列可排序{In}={I1，I2，……}(至少两项）
任取相邻两个闭区间Ik,Ik+1.取Ik右端点记为c;Ik+1左端点记为d.取e=(c+d)/2.
则e∉闭区间序列{In},但e∈[a,b].证毕。

可列不是实变里的概念?大一数分里为啥会有这个字眼

假设有，那就每个点都属于一个包含于并集的开集，然后开覆盖矛盾

感谢各位大佬，我差不多做出来了

实直线上有界闭得到紧致性，从而每个闭集存在“左右端点”，因为无交，所以端点互不重合。再用端点取一个区间列，这个区间列交非空，但与任何闭集都无交，矛盾

易知[a,b]是R上连通集。
假设可以表示为至少两个至多可数个互不相交的闭集记为闭集族E，那么存在c∈R，c∉E，可做E的划分，划分的两部分为：[a,c]∩E,[c,b]∩E.
则因为[a,c]和[c,b]是R的闭集且E⊂R，故[a,c]∩E,[c,b]∩E都是拓扑子空间E的闭集
故E不连通。这与E=[a,b]是连通集相矛盾。故不能这样表示。