如图，设G为B关于AC的对称点，∠ACG=∠ACB=30，
即∠BCG=60，△BCG为正三角形
∠ABG=∠AGB=10°
∠QCG=20°+30°=50°，∠AGC=60°-10°=50°
∠ACQ=∠AGC=50°
∠AQC=180°-30°-20°=130°，∠QAG=360°-130°-50°-50°=130°
∠AQC=∠QAG=130°
四边形QAGC为等腰梯形
根据图形对称性，∠QBC=∠ABG=10°
设△ABC的外心为D，连接DA、DB、DC、AP、DP
在AC上取一点E，使得PA=PE
∠BDA=2∠BCA=60°
△ABD为正三角形
∠BCD=∠CBD=60°-50°=10°
∠DBP=10°+20°=30°=∠ABP
BP是正三角形△ABD的中垂线
PA=PD，则有PE=PA=PD
∠ECP=∠DCP=20°
即E、D关于PC对称
∠PEC=∠PDC
∠PAE=∠PEA=180-∠PEC=180°-∠PDC
A 、P、D、C四点共圆
∠PAD=∠PCD=20°
∠BAP=60°-20°=40°
延长BQ交AC于F
∠AFB=10°+30°=40°=∠ABF
AB=AF
∠AFQ=40°=∠BAP，∠QAF=30°=∠PBA
△PBA≌△QAF
BP=AQ

证明：
作Q关于AC的对称点R，延长BQ交AC于S,连接AP
∠QAC=30°，∠QAR=60°
△QAR是正三角形
∠RAC=30=∠ACB
AR∥BC
∠ARC=∠AQC=130°=∠RAB
四边形ABCR是等腰梯形
根据图形对称性,∠QBC=∠QCB=10，PBS=10
∠ASB=∠SBC+∠SCB=40°=∠PBS+∠PBA=∠SBA
AB=AS
∠ASQ=∠PAB=40°
∠PBA=∠QAS=30°
△ABP≌△SAQ
BP=AQ