f＝x+x²+x³+……+xⁿ
f´＝1+2x+3x²+……+nxⁿ⁻¹
xf´＝x+2x²+3x³+……+nxⁿ
该式右边取x＝a就是原题左边
另一方面，由等比数列求和知，f＝x(1-xⁿ)/(1-x)，则f´＝((1-x)(1-xⁿ-nxⁿ)+x(1-xⁿ))/(1-x)²，则xf´＝x((1-x)(1-xⁿ-nxⁿ)+x(1-xⁿ))/(1-x)²，化简得(x-(n+1)xⁿ⁺¹+nxⁿ⁺²)/(x-1)²，令x＝a得原题右边。

另一种方法
g＝x+2x²+……+nxⁿ
xg＝x²+2x³+……+nxⁿ⁺¹
由一式减二式，得
(1-x)g
＝x+x²+x³+……+xⁿ-nxⁿ⁺¹
＝x(1-xⁿ)/(1-x)-nxⁿ⁺¹，由等比数列求和知。
所以把1-x除过去得到g的表达式，然后整理一下就得到原题

错位相减法