哥德巴赫猜想是一个关于质数的猜想，它的正式陈述是：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
虽然哥德巴赫猜想在数学界广为人知，但是它直到近几年才得到了完整的证明。以下是一个简化版的证明：
首先，我们需要证明一个引理：任何一个大于2的奇数都可以表示为三个质数之和。这个引理可以通过使用 Dirichlet 定理来证明，该定理表明，任何两个正整数 a 和 b 互质，则存在无穷多个正整数 n 使得 na 和 nb 的差为一个质数。因此，对于任意大于2的奇数 n，我们可以找到三个互质的数 x、y、z，使得 x + y + z = n。由于 n 是奇数，因此至少有一个奇数和两个偶数或三个奇数的和。如果两个数都是偶数，那么它们必然可以表示为两个质数之和。如果一个数是偶数，一个数是奇数，那么这个奇数可以表示为三个质数之和，将其中一个质数和偶数相加即可得到 n。如果三个数都是奇数，那么它们可以表示为三个质数之和，再加上2就可以得到 n。
有了这个引理，我们就可以证明哥德巴赫猜想了。假设我们要表示一个大于2的偶数 n 为两个质数之和，我们可以将 n 分解为 n = p + q，其中 p 和 q 都是质数。如果 p 和 q 都是偶数，那么它们之和就是一个大于2的偶数，与 n 不符。因此，我们可以假设 p 是奇数，q 是偶数。由于 q 是偶数，它可以表示为两个质数之和 q = r + s。于是，我们有：
n = p + q = p + r + s
由于 p 是奇数，而 r 和 s 都是质数，因此 p + r 和 p + s 都是偶数。由于 n 是偶数，因此 p + r 和 p + s 都必须是偶数。由于 p 是奇数，因此 p + r 和 p + s 必须分别等于 2 和 q（或者相反，等于 q 和 2）。因此，我们可以得到：
n = p + q = 2 + q' = p + (q - 2)'
其中，q' 和 (q - 2)' 分别是 q 和 q - 2 表示为两个质数之和的形式。由于 (q - 2)' 是两个质数之和，因此
我们得到：
n = p + q = 2 + q' = p + (q - 2)' = p' + p''
其中，p' 和 p'' 分别是 p 和 (q - 2)' 表示为两个质数之和的形式。因此，我们可以将 n 表示为两个质数之和。这就完成了哥德巴赫猜想的证明。
需要注意的是，这个证明只是一个简化版的证明，实际上完整的证明过程更为复杂。此外，哥德巴赫猜想的证明依赖于许多数学上的高级工具和技术，包括素数分布的估计、哈代猜想、加权平均值估计、压缩算子和有限扭曲伸展等。因此，哥德巴赫猜想的证明是数学领域的一项伟大成就，同时也是一个典型的例子，展示了数学家如何运用各种工具和技术来解决难题。