利用好伴随阵和逆矩阵的定义求行列式
然后容易

修改一下楼上的回答。
回忆一下伴随矩阵的秩。
设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵。
r(A)=n时，r(A*)=n
r(A)=n-1时，r(A*)=1
r(A)＜n-1时，r(A*)=0
由题目条件，A*=A^T，于是r(A*)=r(A^T)=r(A)，本题中n=3，所以r(A)=n或r(A)=0，即A要么是可逆矩阵，要么是0矩阵。
因为det(A)E=AA*=AA^T，对两边取行列式得det(A)=det(A)·det(A^T)=(det(A))²，解得det(A)=0或1。
det(A)=0时，A必然不是可逆矩阵，那么A只能是0矩阵，m=0。
det(A)=1时，A为可逆矩阵，特别地，A是正交矩阵。正交矩阵有一个性质，那就是它的任意行向量或列向量均为单位向量。A的第一行为(m,m,m)，所以(m,m,m)为单位向量，m²+m²+m²=1，解得m=±1/√3。