这篇文章 的 灵感 来自 《猜想：e＋π或e×π为有理数，求证明》 https://tieba.baidu.com/p/8327270906 20 楼 和 《哥猜 的 难点 在于 对 质数 的 掌握》 https://tieba.baidu.com/p/8274152355 20 楼 。
我 在 《傅里叶级数 和 高次多项式函数》 https://tieba.baidu.com/p/7902477319 和 《激光全息 的 原理 要 第二代 物理学 才能 揭开》 https://tieba.baidu.com/p/6992755179 提出过 正弦函数 的 “相干性” 。
两个 周期 之比 是 有理数 的 周期信号 叠加（相加）， 结果 是 一个 周期信号，
一个 周期 信号 和 一个 非周期信号 叠加（相加）， 结果 是 一个 非周期信号，
两个 非周期信号 叠加（相加）， 结果 可能是 一个 非周期 信号， 也可能 是 一个 周期信号 。
这 就 好比 正正得正， 正负得负， 负负可能得正，也可能得负 ？
有理数 是 无限循环小数， 有 循环节， 一个 循环节 就是 一个周期 。
两个 有理数 相加， 结果 是 有理数，
一个 有理数 和 一个 无理数 相加， 结果 是 无理数，
两个 无理数 相加， 结果 可能是 无理数， 也可能 是 有理数 。
有理数 的 循环节 长度 是 自然数， 因此， 两个 有理数 的 循环节长度 之比 是 两个 自然数 之比， 是 有理数 。 有理数 的 循环节 就是 有理数 小数部分 循环 的 周期， 即 两个 有理数 小数部分 循环 的 周期 之比 是 两个自然数之比， 是 有理数 。 由此可知， 两个 有理数 相加， 结果 还是一个 有理数， 这里要说的 重点 是， 结果 的 小数部分 仍然 是 循环 的， 即 仍然 是 周期性 的 。
这样， 把 若干个 有理数 看作 若干个 正弦函数， 它们 的 循环节 数值 和 长度 是 各种各样， 就相当于 若干个 正弦函数， 它们 的 振幅 、周期 、相位 各种各样 。
把 有理数 的 小数部分 看作 是 一个 信号， 每一位 就是 信号的 一个 离散采样点， 比如 像素 、声音信号采样点 。
把 这些 有理数 加起来， 就可以 得到 一个 新的 有理数， 那么， 反过来， 已知 一个 有理数 S， 可以 尝试 用 若干个 有理数 a, b, c, d …… 相加， 记为 S ′ = a + b + c + d + …… 使得 S ′ = S 或 S ′ 接近 S 。 S ′ 接近 S 一般 不是 指 | S ′ - S | 最小， 因为 如果 是 | S ′ - S | 最小， 那 高位 有一位 不相等 得到 的 | S ′ - S | 比 离高位很远 的 低位（末位） 有一位 不相等 的 | S ′ - S | 大很多， 我们这里 并不关注 这个， 我们 这里 关注 的 是， 把 有理数 的 小数部分 当作 一个 信号来看， 小数 的 每一位 表示 信号 的 一个 离散采样点， 比如 像素 、声音信号采样点 。 这样， 这里说的 S ′ 接近 S 就是 信号 意义上 的 接近， 即 S ′ 是 一个 和 S 相似 的 信号， S ′ 的 “波形” 接近 S 。
S ′ 的 “波形” 接近 S 的 程度， 即 S ′ 和 S 的 相似程度， 是 看 两个小数 有 多少位 不相等， 不相等 的 位 相差多大 。
你们会问， 为什么 S ′ 接近 S， 而不是 S ′ = S ？ 实际上， 根本 不用 若干个 有理数 a, b, c, d …… 相加 来得到 S ′， 我们 可以 直接 知道 信号 对应 的 S 。 比如， 一张图片， 它 的 每一个像素 可以 表示为 一位 或 几位数字， 把 所有 像素 的 数字 连起来， 就是 一个 很长 的 小数， 就是 S ， 我们 可以 找到 这个 小数， 即 S ， 对应 的 分数 。 这样， 一个 分数 就可以表示 一张图片， 这个 数据 压缩率 也是 无敌 了 。 但 寻找 这个 分数 的 时间复杂度 很大， 因为 小数 很长， 即 小数位数 很多， 它 对应 的 分数 的 分子分母 可能很大， 所以 寻找 的 时间复杂度 大 。
如果 退一步， 我们 不一定 找 S 对应 的 分数， 而是 找 S ′ 对应 的 分数， S ′ 在 信号意义 上 接近 S ， 那 时间复杂度 也许 可以 降低很多， 这是一个 近似 的 做法 。
直接 找 S ′ 对应 的 分数， 时间复杂度 可能 还是 比较大， 因为 要 让 S ′ 接近 S ， 面临 和 寻找 S 的 分数 同样 的 问题， S ′ 对应的分数 的 分子分母 可能很大， S ′ 越接近 S， 时间复杂度 越大 。
实际上， 还有别的 玩法， 比如 上面说的， 用 若干个 有理数 a, b, c, d …… 相加， 记为 S ′ = a + b + c + d + …… 使得 S ′ = S 或 S ′ 接近 S 。 这 类似 傅里叶级数， 寻找 a, b, c, d …… 类似 傅里叶展开， 也可以叫 傅里叶分解 。
我觉得 这个 办法 的 时间复杂度 可以更小 。
有理数 的 相干性 可以用于 数据 的 转换 传输 压缩 ， 总之 可以 用于 数据 的 处理 。
但 实际上， 解压的时候， 也就是 从 分数 得到 小数， 要 做 除法， 64 位 的 乘法 可以 一个 时钟周期 做完， 64 位 的 除法 不能 在 一个 时钟周期 做完， 需要 多个 时钟周期 。 小数 的 位数 很多， 除法 也 需要 很多 的 时钟周期， 时间复杂度 可能 和 一位一位 传递原始数据 差不多， 甚至更多 。 也就是说， 这个 技术（有理数 的 相干性） 好像 优点 就是 节省 存储空间， 但 其实， 也 节省 传输时间 。 假设 1 位 数据 从 网络 的 一端 传到 另一端 传输 的 时间复杂度 要 O ( 1000 ) ， 而 解压还原 1 位数据 在 CPU 里 作 除法 的 时间复杂度 只要 O ( 1 ) ， 假设 未压缩的源数据 大小 是 n 位， 那么， 在 网络 上 传输 n 位 数据 的 时间复杂度 是 O ( 1000 * n ) ， 计算机 里 解压还原 n 位 数据 的 时间复杂度 可以看作 O ( 1 * n ) ， 由此可以看出， O ( 1000 * n ) / O ( 1 * n ) = 1000 ， 也就是说， 网络传输 n 位数据 的 时间 是 本地 解压还原 n 位数据 的 时间 的 1000 倍， 这样， 把 n 位数据 压缩后 在 网络上 传输， 下载到 本地 后 再 解压还原 是 划算 的， 也是 节省 传输时间 。
你们会说， 压缩后 的 数据 也有 一定大小， 在 网络 上 传输 也 需要 时间， 这部分 时间 也 应该 算进去 。 对， 这 取决于 压缩比， 假设 n 位数据 压缩 后 是 m 位， m / n 是 压缩比， 如果 m 比 n 小很多， 那么， 把 传输 压缩后 的 数据（m 位） 的 时间 算进去， 和 上面讨论 的 解压还原 的 时间 算在一起， 还是 划算 的， 也是 节省 传输时间 。
这里 的 （网络传输 的）时间复杂度 似乎 说 时间花费（时间开销 ？ 时间花销 ？） 更合适一些， 但 为了 讲起来方便， 还是说 时间复杂度， 知道就行 。
我 在 《傅里叶级数 和 高次多项式函数》 https://tieba.baidu.com/p/7902477319 和 《激光全息 的 原理 要 第二代 物理学 才能 揭开》 https://tieba.baidu.com/p/6992755179 提出过 正弦函数 的 “相干性” 。
两个 周期 之比 是 有理数 的 周期信号 叠加（相加）， 结果 是 一个 周期信号，
一个 周期 信号 和 一个 非周期信号 叠加（相加）， 结果 是 一个 非周期信号，
两个 非周期信号 叠加（相加）， 结果 可能是 一个 非周期 信号， 也可能 是 一个 周期信号 。
这 就 好比 正正得正， 正负得负， 负负可能得正，也可能得负 ？
有理数 是 无限循环小数， 有 循环节， 一个 循环节 就是 一个周期 。
两个 有理数 相加， 结果 是 有理数，
一个 有理数 和 一个 无理数 相加， 结果 是 无理数，
两个 无理数 相加， 结果 可能是 无理数， 也可能 是 有理数 。
有理数 的 循环节 长度 是 自然数， 因此， 两个 有理数 的 循环节长度 之比 是 两个 自然数 之比， 是 有理数 。 有理数 的 循环节 就是 有理数 小数部分 循环 的 周期， 即 两个 有理数 小数部分 循环 的 周期 之比 是 两个自然数之比， 是 有理数 。 由此可知， 两个 有理数 相加， 结果 还是一个 有理数， 这里要说的 重点 是， 结果 的 小数部分 仍然 是 循环 的， 即 仍然 是 周期性 的 。
这样， 把 若干个 有理数 看作 若干个 正弦函数， 它们 的 循环节 数值 和 长度 是 各种各样， 就相当于 若干个 正弦函数， 它们 的 振幅 、周期 、相位 各种各样 。
把 有理数 的 小数部分 看作 是 一个 信号， 每一位 就是 信号的 一个 离散采样点， 比如 像素 、声音信号采样点 。
把 这些 有理数 加起来， 就可以 得到 一个 新的 有理数， 那么， 反过来， 已知 一个 有理数 S， 可以 尝试 用 若干个 有理数 a, b, c, d …… 相加， 记为 S ′ = a + b + c + d + …… 使得 S ′ = S 或 S ′ 接近 S 。 S ′ 接近 S 一般 不是 指 | S ′ - S | 最小， 因为 如果 是 | S ′ - S | 最小， 那 高位 有一位 不相等 得到 的 | S ′ - S | 比 离高位很远 的 低位（末位） 有一位 不相等 的 | S ′ - S | 大很多， 我们这里 并不关注 这个， 我们 这里 关注 的 是， 把 有理数 的 小数部分 当作 一个 信号来看， 小数 的 每一位 表示 信号 的 一个 离散采样点， 比如 像素 、声音信号采样点 。 这样， 这里说的 S ′ 接近 S 就是 信号 意义上 的 接近， 即 S ′ 是 一个 和 S 相似 的 信号， S ′ 的 “波形” 接近 S 。
S ′ 的 “波形” 接近 S 的 程度， 即 S ′ 和 S 的 相似程度， 是 看 两个小数 有 多少位 不相等， 不相等 的 位 相差多大 。
你们会问， 为什么 S ′ 接近 S， 而不是 S ′ = S ？ 实际上， 根本 不用 若干个 有理数 a, b, c, d …… 相加 来得到 S ′， 我们 可以 直接 知道 信号 对应 的 S 。 比如， 一张图片， 它 的 每一个像素 可以 表示为 一位 或 几位数字， 把 所有 像素 的 数字 连起来， 就是 一个 很长 的 小数， 就是 S ， 我们 可以 找到 这个 小数， 即 S ， 对应 的 分数 。 这样， 一个 分数 就可以表示 一张图片， 这个 数据 压缩率 也是 无敌 了 。 但 寻找 这个 分数 的 时间复杂度 很大， 因为 小数 很长， 即 小数位数 很多， 它 对应 的 分数 的 分子分母 可能很大， 所以 寻找 的 时间复杂度 大 。
如果 退一步， 我们 不一定 找 S 对应 的 分数， 而是 找 S ′ 对应 的 分数， S ′ 在 信号意义 上 接近 S ， 那 时间复杂度 也许 可以 降低很多， 这是一个 近似 的 做法 。
直接 找 S ′ 对应 的 分数， 时间复杂度 可能 还是 比较大， 因为 要 让 S ′ 接近 S ， 面临 和 寻找 S 的 分数 同样 的 问题， S ′ 对应的分数 的 分子分母 可能很大， S ′ 越接近 S， 时间复杂度 越大 。
实际上， 还有别的 玩法， 比如 上面说的， 用 若干个 有理数 a, b, c, d …… 相加， 记为 S ′ = a + b + c + d + …… 使得 S ′ = S 或 S ′ 接近 S 。 这 类似 傅里叶级数， 寻找 a, b, c, d …… 类似 傅里叶展开， 也可以叫 傅里叶分解 。
我觉得 这个 办法 的 时间复杂度 可以更小 。
有理数 的 相干性 可以用于 数据 的 转换 传输 压缩 ， 总之 可以 用于 数据 的 处理 。
但 实际上， 解压的时候， 也就是 从 分数 得到 小数， 要 做 除法， 64 位 的 乘法 可以 一个 时钟周期 做完， 64 位 的 除法 不能 在 一个 时钟周期 做完， 需要 多个 时钟周期 。 小数 的 位数 很多， 除法 也 需要 很多 的 时钟周期， 时间复杂度 可能 和 一位一位 传递原始数据 差不多， 甚至更多 。 也就是说， 这个 技术（有理数 的 相干性） 好像 优点 就是 节省 存储空间， 但 其实， 也 节省 传输时间 。 假设 1 位 数据 从 网络 的 一端 传到 另一端 传输 的 时间复杂度 要 O ( 1000 ) ， 而 解压还原 1 位数据 在 CPU 里 作 除法 的 时间复杂度 只要 O ( 1 ) ， 假设 未压缩的源数据 大小 是 n 位， 那么， 在 网络 上 传输 n 位 数据 的 时间复杂度 是 O ( 1000 * n ) ， 计算机 里 解压还原 n 位 数据 的 时间复杂度 可以看作 O ( 1 * n ) ， 由此可以看出， O ( 1000 * n ) / O ( 1 * n ) = 1000 ， 也就是说， 网络传输 n 位数据 的 时间 是 本地 解压还原 n 位数据 的 时间 的 1000 倍， 这样， 把 n 位数据 压缩后 在 网络上 传输， 下载到 本地 后 再 解压还原 是 划算 的， 也是 节省 传输时间 。
你们会说， 压缩后 的 数据 也有 一定大小， 在 网络 上 传输 也 需要 时间， 这部分 时间 也 应该 算进去 。 对， 这 取决于 压缩比， 假设 n 位数据 压缩 后 是 m 位， m / n 是 压缩比， 如果 m 比 n 小很多， 那么， 把 传输 压缩后 的 数据（m 位） 的 时间 算进去， 和 上面讨论 的 解压还原 的 时间 算在一起， 还是 划算 的， 也是 节省 传输时间 。
这里 的 （网络传输 的）时间复杂度 似乎 说 时间花费（时间开销 ？ 时间花销 ？） 更合适一些， 但 为了 讲起来方便， 还是说 时间复杂度， 知道就行 。
