假设有 $n$ 个数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$，它们的平均值为 $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$。那么，这些数减去平均值的差的平方和为：$$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$$将其展开可以得到：$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2 &= \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - 2\overline{x}\sum_{i=1}^{n}x_i + n\overline{x}^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - 2n\overline{x}^2 + n\overline{x}^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\overline{x}^2 \end{aligned}$$然后，我们需要乘以概率。设每个数出现的概率为 $p_1, p_2, \cdots, p_n$，它们的和为 $1$。那么，这 $n$ 个数的和为 $S = \sum_{i=1}^{n}x_ip_i$，因此，数减平均值和的平方乘以概率为：$$\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2p_i \\ =&\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2p_i\right) - n\overline{x}^2 \end{aligned}$$将 $\sum_{i=1}^{n}x_i^2p_i$ 替换为 $S^2$，我们得到：$$\left(S^2 - n\overline{x}^2\right)$$因此，数减平均值和的平方乘以概率为 $S^2 - n\overline{x}^2$。
