拉普拉斯变换的相似性定理是指：若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $e^{at}f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s-a)$。下面给出它的简要证明过程。根据拉普拉斯变换的定义，有：$$F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt$$则 $e^{at}f(t)$ 的拉普拉斯变换为：$$\begin{aligned} \mathcal{L}{ e^{at}f(t) } &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at}f(t)dt \ &= \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} f(t)dt \ &= F(s-a) \end{aligned}$$其中，第二步利用了指数函数的性质 $e^{a+b} = e^a e^b$，以及 $e^{-at}$ 的拉普拉斯变换为 $\frac{1}{s+a}$。因此，可以得到拉普拉斯变换的相似性定理：$$\mathcal{L}{e^{at}f(t)} = F(s-a)$$证毕。