第一节：p函数
让我们考虑这样子的一个简单函数：p(0)=w，p(x+1)=p(x)*w
也就是p(1)=w^2，p(2)=w^3
p(p(0))=w^w，p(p(p(0)))=w^w^w
它很简单，也很弱，只有区区的e0。

第二节：初等序列
接下来让我们来看看另外一个e0的构造
首先考虑一串长度有限自然数数列，如果这个数列的结尾为1，则去掉1，将计算结果+1；
如果结尾为n+1(n!=0)，则向前找到最近的n，然后删去n+1，将n后面的部分复制w次。
比如1,2,3,4,2如何展开？最后一个数2找到最前面的1，然后将1后面的“1,2,3,4”复制w次，于是展开成：
1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,……
于是：1 = 1，1,1 = 2，1,2 = w
1,2,1,2 = w2，1,2,2 = w^2，1,2,3 = w^w
1,2,3,4 = w^w^w，极限仍然是e0。

接下来，让我们把两者结合起来！
我们有一系列函数p1，p2，p3……，它们都满足pn(x+1) = pn(x)*w
对于一个表达式，比如p1(p2(p3(0)+p2(0)))，我们首先看到我们要处理的是什么（比如在这里是p2(0)），记其为A
如果要处理的东西是一个pn(0)，则向外找到最内层的包含A的pn-1(____)，记其为B，然后将B去掉A的部分记为S____T，将A替换为B，最后一次替换为0。
如果要处理的是p1(0)，直接将其替换成w。
如果要处理的是一个pn(a+1)（这里a+1是后继序数），则将其改写成pn(a)*w。

我单单这么说大家可能都不懂，接下来我们来看一些实际点的例子
比如刚刚的例子p1(p2(p3(0)+p2(0)))，我们要操作的项是A=p2(0)，向外找到B=p1(p2(p3(0)+p2(0)))，B去除A的部分是p1(p2(p3(0)+______))，于是原表达式展开为p1(p2(p3(0)+p1(p2(p3(0)+p1(p2(p3(0)+......))))))
再比如p1(p2(p3(0))+p2(p3(0)+p2(0)))，这展开为p1(p2(p3(0))+p2(p3(0)+p1(p2(p3(0))+p2(p3(0)+p1(p2(p3(0))+p2(p3(0)+……))))))
有人可能会说：“这不会无限循环吗？”事实上这正是Hydra精妙所在。读者不妨亲自展开一下p1(p2(p3(0)))，感受一下为什么Hydra不会出现无限循环。
事实上，我们刚才的操作已经触及到了SCG函数。我们不妨列举一下：
p1(p2(0))，这是上一部分p(p(p(....)))的极限，是e0
p1(p2(0)+1)是w^(e0+1)
p1(p2(0)+p1(0))是w^(e0+w)
p1(p2(0)+p1(p2(0)))是w^(e0*2)
p1(p2(0)*2)已经是e1
p1(p2(1))达到了ew
p1(p2(p1(p2(0))))达到了ee0
p1(p2(p2(0)))达到了z0
p1(p2(p2(0))*2)则是z1
p1(p2(p2(0)+1))达到zw
p1(p2(p2(0)+p1(p2(p2(0)))))达到zz0
p1(p2(p2(0)*2))达到了n0
p1(p2(p2(1)))达到了φ(w,0)
p1(p2(p2(p2(0))))达到了Gamma0
p1(p2(p2(p2(1))))达到了φ(w,0,0)
p1(p2(p2(p2(p1(0)))))达到了SVO
p1(p2(p2(p2(p1(0))+1)))已经超过TREE函数的增长率了！
p1(p2(p2(p2(p2(0)))))已经超过了原版Veblen函数的表达能力，达到了LVO
考虑p1(p2(p3(0)))，它展开为p1(p2(p2(p2(......))))，这是一个有名气的序数，它叫BHO，不少的人可能是通过序数增量这个游戏认识这个序数的
接下来p1(p2(p3(0)*2))已经超越了序数增量的极限
而这仅仅是Hydra小部分的实力而已，接下来的Hydra将会更恐怖。
我们有p1(p2(p3(1)))，p1(p2(p3(p1(0))))，p1(p2(p3(p2(0))))，p1(p2(p3(p2(p3(0)))))，p1(p2(p3(p3(0))))，p1(p2(p3(p3(0))))，然后又有p1(p2(p3(p4(0))))，它对角化p1(p2(p3(p3(p3(......)))))
最后，设想一下这样一个极限：sup{p1(0),p1(p2(0)),p1(p2(p3(0))),p1(p2(p3(p4(0)))),......}，这个极限叫做BO，它也是SCG函数增长率的下限。
SCG(3)则有这么一个粗略的下限：f_BO(2^^1000)

如你所见，Hydra只用了简短的几条规则，就超越了绝大部分新手写了好几页纸复杂定义。
而事实上，Hydra的力量远不止于此。如果在Hydra的下标上加入阶差思想，就构成了ex-Hydra；
如果我们把“向外找”换成“向外找2次”，甚至是“向外找n次”，这便是Dropping-Hydra。
正是有了Hydra模式，现代的大数数学才有了坚实的基础，而Hydra衍生出的各种记号，包括BMS、fffZ等等，则带领着人类征服PTO(Pi12-CA0)以后的世界，直冲PTO(Pi13-CA0)甚至是PTO(Z_2)……
——完——

好