极大理想一定是素理想的理解及严格证明如下：极大理想一定是素理想的理解：极大理想是指在该环中除了它自己和零理想外，不再有其他理想包含它的理想。素理想是指该理想不能再被分解为两个非平凡理想的交集。一个环的极大理想一定是素理想的理解是，如果一个理想是极大的，那么它不能被其他理想所包含，因此它不能被分解为两个非平凡理想的交集，因此它一定是素理想。极大理想一定是素理想的严格证明：假设I是环R的一个极大理想。假设I不是素理想，那么存在一个理想J，使得I ∩ J ≠ 0。由于I是极大的，J ≠ I，因此J ≠ 0。但是，I ∩ J ≠ 0意味着存在一个元素x ∈ I ∩ J。由于x ∈ I，x ∉ 0；由于x ∈ J，x ∉ J。这与我们的假设矛盾，因此假设不成立。所以I是素理想。

知乎上有大佬介绍过网页链接 挺详细的

设M是R的极大理想，那么有R/M是一个域，从而必然是整环，从而M必然是素理想