百度一下回顾相关概念。 在交换幺环 A 中,一个理想 a 被称为极大理想,如果它是真理想(即 a ≠ A)且对于 A 中的任何理想 b,如果 a 包含于 b 中,则 b = a 或者 b = A。换句话说,极大理想是在所有真理想中最大的。 一个准素理想是一个真理想 a,满足对于任意的 x, y ∈ A,如果 xy ∈ a,则 x ∈ a 或者 y ∈ a。 分析: 现在问题是,假设 r(a) 是一个极大理想。需证明 a 是一个准素理想。 又假设存在 x, y ∈ A,满足 xy ∈ a,但是 x ∉ a 且 y ∉ a。将证明 a 不是一个极大理想,从而得出矛盾。 推理: 考虑理想 b = a + (x) 和理想 c = a + (y),其中 (x) 和 (y) 分别表示由 x 和 y 生成的理想。由于 x ∉ a,知道 b 包含 a 但不等于 a。同样,由于 y ∉ a,可知 c 包含 a 但不等于 a。 由于 r(a) 是一个极大理想,则有 b = r(a) 或者 b = A,以及 c = r(a) 或者 c = A。 首先,假设 b = r(a)。 这意味着存在一个整数 n,使得 xn ∈ a。由于 xy ∈ a,所以有 x(y^n) ∈ a。由于 a 是一个真理想,所以知道 x ∈ a 或者 y^n ∈ a。 但是根据预先的假设,x ∉ a,所以得出 y^n ∈ a。这意味着 y ∈ r(a)。但这结论与事先的假设 y ∉ a 矛盾。 现在,假设 b = A。这意味着对于任意的 z ∈ A,都有 z ∈ b。考虑 z = y^n。根据预先的假设 y ∉ a,所以 y^n ∉ a。但是根据 b = A,容易得出 y^n ∈ b。这与预先假设 y^n ∉ a 矛盾。 通过上述推理,可以得出结论:如果 r(a) 是一个极大理想,则 a 是一个准素理想。 特别地,如果 m 是一个极大理想,则 m 的幂 m^n 是一个准素理想。 m 在 A/a 上的像是 A/a 的诣零根,这涉及到商环的性质。商环 A/a 的元素可以表示为 a + x,其中 x ∈ A。 所以如果 m 是一个极大理想,则 m 在商环 A/a 上的像亦是一个极大理想,记为 m/a。由于 m^n 是一个准素理想,故可知 (m^n)/a 是一个准素理想,并且它是 A/a 的唯一一个素理想。