本人无知 望各位大虾请教
昨日看见了∑i²=n(n+1)(2n+1)/6这个公式 灰常有用 例如在求定积分时就会用 下边的证明也要用 然后证了一下 做出来了 有意思^^^^^^^^ 今天本人突发奇想 推导出了∑i^3的公式 原创（当然我不知道其他人有没有用这个方法）推导如下
a^4-b^4=(a+b)(a³+b³+ab(a+b))
∴ n^4-(n-1)^4=n³+(n-1)³+2n³-3n²+n=3n³+（n-1)³-n(3n-1)
∴2^4-1^4=3*2³+1³-2(3*2-1)
3^4-2^4=3*3³+2³-3(3*3-1)
………………….
n^4-(n-1)^4=3n³+（n-1)³-n(3n-1)
左右两边相加，得（注 粗体为∑右边的i 斜体括号内为上下标号 不确定帖里能否显示）：
n^4-1^4=3∑(i=2,n)i³+∑(i=1,n-1)i³-∑(i=2,n)i(3i-1)
=3∑(i=2,n)i³+∑(i=1,n-1)i³-∑(i=1,n)i(3i-1)+2
求和∑(i=1,n)i(3i-1),构造数列{3a²-a}
S{3a²-a}=S{3a²}-S{a}
=3*(n(n+1)(2n+1))/6-(n(n+1))/2
=(n(n+1)(2n+1))/2-(n(n+1))/2
=(n(n+1)2n)/2
=n³+n²
∴n^4-1^4=3∑(i=2,n)i³+∑(i=1,n-1)i³-n³-n²+2
=4∑(i=1,n)i³-3-n³-n³-n+2²
=4∑(i=1,n)i³-2n³-n²-3+2
∴n^4=4∑(i=1,n)i³-2n³-n²
∴4∑(i=1,n)i³=n^4+2n³+n²
∴∑(i=1,n)i³=(n²(n+1)²)/4
=(n(n+1)/2)²
=(∑(i=1,n)i)²
这样就推出来∑(i=1,n)i³的公式了 同时也证明了正整数“立方的和等于和的平方”
辛苦*************有什么错误请指出啊
昨日看见了∑i²=n(n+1)(2n+1)/6这个公式 灰常有用 例如在求定积分时就会用 下边的证明也要用 然后证了一下 做出来了 有意思^^^^^^^^ 今天本人突发奇想 推导出了∑i^3的公式 原创（当然我不知道其他人有没有用这个方法）推导如下
a^4-b^4=(a+b)(a³+b³+ab(a+b))
∴ n^4-(n-1)^4=n³+(n-1)³+2n³-3n²+n=3n³+（n-1)³-n(3n-1)
∴2^4-1^4=3*2³+1³-2(3*2-1)
3^4-2^4=3*3³+2³-3(3*3-1)
………………….
n^4-(n-1)^4=3n³+（n-1)³-n(3n-1)
左右两边相加，得（注 粗体为∑右边的i 斜体括号内为上下标号 不确定帖里能否显示）：
n^4-1^4=3∑(i=2,n)i³+∑(i=1,n-1)i³-∑(i=2,n)i(3i-1)
=3∑(i=2,n)i³+∑(i=1,n-1)i³-∑(i=1,n)i(3i-1)+2
求和∑(i=1,n)i(3i-1),构造数列{3a²-a}
S{3a²-a}=S{3a²}-S{a}
=3*(n(n+1)(2n+1))/6-(n(n+1))/2
=(n(n+1)(2n+1))/2-(n(n+1))/2
=(n(n+1)2n)/2
=n³+n²
∴n^4-1^4=3∑(i=2,n)i³+∑(i=1,n-1)i³-n³-n²+2
=4∑(i=1,n)i³-3-n³-n³-n+2²
=4∑(i=1,n)i³-2n³-n²-3+2
∴n^4=4∑(i=1,n)i³-2n³-n²
∴4∑(i=1,n)i³=n^4+2n³+n²
∴∑(i=1,n)i³=(n²(n+1)²)/4
=(n(n+1)/2)²
=(∑(i=1,n)i)²
这样就推出来∑(i=1,n)i³的公式了 同时也证明了正整数“立方的和等于和的平方”
辛苦*************有什么错误请指出啊
