图形：三维坐标系，怎么只画了两条向量线段？ 如果你也有上述自我强迫式的疑问，那恭喜你，你的线性代数，要有“秩”的飞跃了。

1、齐次线性方程组的几何含义是，画出给定的两条向量线段的垂直线段（或直线）； 2、原点（0，0，0）与任意一条向量线段垂直。如果向量空间是饱满的，则方程无解；如果向量空间不够饱满，则方程有解，并且解向量正好将它填充。

那么，在不求解的情况下，如何测度向量空间呢？分析一下系数矩阵就可以了，而分析的结果就是矩阵或向量组的“秩”。 阶子式（如果存在的话）全等于0，那么

向量组的秩：设的向量组 个向量的话）都线性相关，那么称

的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组；数 的秩，并规定只含零的向量组的秩为

对于阶子式，我们可以把它理解为对N维空间的解构， 以三维空间为例，二维平面和一维直线便是三维空间的“阶子式”。基于有线才有面、有面才体的常识，判定N维向量空间的饱满程度（即矩阵或向量组的秩），可以从二维平面是否有面积（即二阶子式是否为0）开始。 试想一下，常见的三维体都有几个面？长方体有六个面，三棱柱有五个面，三棱锥有四个面。所以，某个二维平面面积为0（即阶子式为0），并不影响三维体的体积，只要找一个面积不为0的二维平面（即阶子式），再由低阶向高阶推演，就可以算来矩阵或向量组的秩了。

比如，上面列出的矩阵： 如果将列向量看作是向量线段，那么向量空间是2维的，2维平面有三条向量线段，两条即可成面，所以，这个矩阵则是满秩的，秩为2，也就是维度数。

如果将横向量看作向量线段，只需要增加一个零量（0，0，0），即 三维的向量空间里，只有两条向量线段，任一个二阶子式不为零，就意味着两条向量线段不共线。而三阶子式（即矩阵本身）是0，意味着这个矩阵对应的是一个二维平面，它的秩为2，而向量空间的维度数是3。

总之，矩阵的“秩”与齐次线性方程组的解、向量组的线性相关和线性无关、向量空间的饱满度，在内在含义上是相通的。