相关系数r∈[-1,1]，决定系数R??∈[0,1]. 相关系数r的定义如上，r是从n维向量夹角余弦的角度来定义的.

决定系数R??定义如上，R??是从残差平方和占总体平方和的比例的角度定义的. 同样一组样本数据，(x1,y1)，(x2,y2)，……，（xn,yn），相关系数r有且只有一个.但是随着我们建立的回归模型的不同，解释变量y的预测值可以不同，进而决定系数R??可以不同.比如我们可以对同一组样本数据建立线性回归模型和对数回归模型，显然两者的决定系数R??是不同的.作为回归模型评价的重要指标，R??显然是和其对应的回归模型相配套的.

相关系数r可以反映成对样本数据之间线性相关的正负和程度，是统计中相关分析的重要概念；决定系数R??用来衡量回归模型的拟合效果，是统计中回归分析的重要概念. 一般来说，对于成对样本数据，我们可以通过散点图和样本相关系数推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱.在分析完成对数据相关性的强弱后，我们可以建立回归模型并求相应的回归方程，并通过求出决定系数来分析回归模型拟合效果的好坏.

结论：当回归模型为线性回归模型y=bx+a，且参数a,b是以最小二乘法估计时，则R??=r??. 对于上述证明过程，我们需要注意下面几点：

1.从证明过程可以看出，如果回归函数是非线性回归函数，如对数型、指数型，或者参数a,b的值不是通过最小二乘法估计的，则两者并不一定相等. 2.从上述证明不难看出，当回归模型为y=bx+a，且参数a,b是以最小二乘法估计出来的时候，总体平方和等于残差平方和(即为最小二乘法中二元距离函数Q(a,b)的最小值)，加上回归平方和，即下面式子成立，

显然总体平方和为定值，所以R??越大，意味着残差平方和越小，回归平方和越大，模型的拟合效果越好；R??越小，意味着残差平方和越大，回归平方和越小，模型的拟合效果越差. 以上为笔者对相关系数r和决定系数R??的理解，如有谬误，欢迎指正！

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