J_K是R_F在K内的整闭包，合着就是R_K，跟没说一样。3的hint里β^m-1是prime好证，不知道怎么根据最后一句构造α。

这是关于什么类型方向的题目？

ν是F上的order function：这表示ν是定义在域F上的一个次序函数，用来衡量F中元素的次序或大小。
F关于ν^2完备：这表明域F在次序函数ν^2下是完备的，即对于所有的Cauchy序列，存在极限在F中。
k是R_F的residue class field：这意味着k是环R_F的剩余类域，通常指的是R_F模掉其极大理想后得到的域。
J_K是R_F在K中的整闭包：这指的是环R_F在域K中的整闭包，即K中满足在R_F中的整系数方程的元素构成的环。
“every unit of R_F is contained”，指的是 “F里的每一个单位都包含......”
Every unit of R_F is contained in the field F" 的意思是整环R_F中的每个可逆元都包含在域F中。这大概是因为域F是整环R_F的商域，因此域F中的每个元素都可以表示为R_F中两个元素的商。

J_K是R_F在K内的整闭包，合着就是R_K，的确是多余的。
3的hint里β^m-1是prime好证，不知道怎么根据最后一句构造α。
这是指β^m-1是一个素数（prime）的意思，考虑构造α = β^(m-1)。因为β^m-1是素数，所以α = β^(m-1)是一个不可约元素。接下来，利用这个不可约元素α来构造出满足条件的元素。根据构造出的α，可以进一步推导出满足要求的α，因此楼主才说不知道怎么根据最后一句构造α。
我解释完毕

👴会了，简要写一下过程。yysy，还挺简单的，可能是这两天脑子昏昏沉沉的犯困所以没写出来。

第三题，用二项式展开β^m，然后算其中的项mγ^{m-1}π的order。由于F(γ)作为最大不分歧扩大的ramification degree是f，所以F(γ)的residue class field有q^f个元。因此mγ^{m-1}π的order就是π的order。展开式里其余的项的order都大于π的，所以β^m-1的order和π的一致，因此是prime。

然后因为F(γ)的residue class field是由γ的等价类在F的residue class field上生成的，而β与γ在K的residue class field上一致，并且由于F(γ)是最大不分歧扩大，F(γ)和K的residue class field一致。故而β在F的residue class field上生成K的。所以在hint中最后一个对R_K的表达式里，令α_i为β^i并且令π为β^m-1即可。

第四个更简单。注意到hint里头那个大并集实际上是F的乘法群的子群，并且其index为n。另一方面，由题目给的那个定理知道K的乘法群的norm的index也是n，所以他俩取等。然后用赋值的扩张的那个显式表达往他俩上套就证毕了。

求狄利克雷单位定理的数学证明，我只找到了该定理的陈述