【重发】有关权方和不等式…………

权方和不等式的证明：
其证明需要用到赫尔德(Hölder)不等式.
赫尔德不等式的形式(特殊情形)：
对于实数p和q，若p≥1，q＜+∞，且1/p+1/q=1.
则对于所有实数或复数a1,a2,a3…………ai……an和b1,b2,b3…………bi……bn
恒有|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)]
当且仅当a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=…………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q时等号成立。
(这个不等式将在随后给予证明)
证明：
第一式：因为m(m+1)＞0，所以m＞0或m＜-1.
设ai=xi/yi^[m/(m+1)] bi=yi^[m/(m+1)]
p=m+1 q=(m+1)/m
m＞0时，p＞1，q＜+∞成立，且1/p+1/q=1.
所以对于ai、bi＞0，恒有：
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)]
也就是x1+x2+x3+…………+xi+……+xn≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+
[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^[1/(m+1)]
*{(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^[m/(m+1)]}
不等式两边同时取(m+1)次幂，得到：
(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+
[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}*
(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m
不等式两边同除(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m，就得到
(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}.
另设ai=yi/xi^[(m+1)/m],bi=xi^[(m+1)/m]
p=-m q=m/(m+1)
当m＜-1时，p＞1，q＜+∞成立，且1/p+1/q=1.
所以对于ai、bi＞0，恒有：
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)].
也就是y1+y2+y3+…………+yi+……+yn≤(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^[(m+1)/m]
*{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^(-1/m).
不等式两边同时做m次幂，此时不等号方向改变：
(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≥(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)
*{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^(-1)
不等式两边取倒数(不等号方向改变)再同乘(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)，即得：
(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}.
第一式得证。


第二式的证明：
第二式非常好证，因为m就-1和0两种取值。
m=0时，原式简化为x1+x2+x3+…………+xi+……+xn=x1+x2+x3+…………+xi+……+xn显然成立；
m=-1时，原式简化为y1+y2+y3+…………+yi+……+yn=y1+y2+y3+…………+yi+……yn显然成立.
第二式得证。

第三式的证明：
设ai=yi^(-m),bi=xi^(m+1).
p=-1/m,q=1/(m+1).
当m(m+1)＜0时，0＞m＞-1.
此时p＞1，q＜+∞成立，且1/p+1/q=1.
所以对于ai、bi＞0，恒有：
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)].
也就是[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]≤[(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)]/[(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m].
第三式得证。
证毕.
最后说一下取等号的条件：赫尔德不等式取等号的条件是：
当且仅当a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=…………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q时等号成立。
所以第一式中，取等号的条件分别是：
m＞0时候：
x1^(m+1)/y1^(m+1)=x2^(m+1)/y2^(m+1)=x3^(m+1)/y3^(m+1)=…………=
xi^(m+1)/yi^(m+1)=……=xn^(m+1)/yn^(m+1).
m＜-1时候：
x1^m/y1^m=x2^m/y2^m=x3^m/y3^m=…………=xi^m/yi^m=……=xn^m/yn^m.
第三式中，取等号的条件是：
0＞m＞-1时候：
y1/x1=y2/x2=y3/x3=…………=yi/xi=……=yn/xn.
由于xi、yi都是正数(也正因为这样，利用赫尔德不等式证明权方和不等式时才能把绝对值符号去掉)，所以可以分别通过开(m+1)、m、-1次方简化为：
x1/y1=x2/y2=x3/y3=…………=xi/yi=……=xn/yn时等号成立。

下面对赫尔德(Hölder)不等式进行证明：
这个不等式的证明方法很多。其中广义的可以利用杨氏不等式证明，但那个就是
涉及到泛函分析的知识了，在此不予讨论。
现仅对特殊情形下的赫尔德不等式(也就是2楼提到的那个)进行证明。
(证明我就不写了，写一大串子估计没几个人能看懂，在别处的论文上找到了一个
证明，用的是直观的数学符号，看起来更清晰明了。引理2即是)



接5楼，原引理2即得证.
当且仅当a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=…………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q时等号成立.
值得说明一下的是，p和q称为赫尔德共轭.
令p=q=2，此时的赫尔德不等式就是柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.

权方和不等式又称Radon不等式 是holder的转换
在哈代的书上具体应该是定理65或66吧 我不记得了
当时那个不等式只是放到"其他定理与特例"中了
因为证明很容易 所以没有过多说明
至于这帖子……2年前我发的就不要计较了 当时当个宝 现在看来感觉挺幼稚的
EMV那一章的所有不等式和习题我基本都做过了
这个确实属于比较简单的一类 做一个比较简单的代换即可完成证明