思维方式不同。
我们是：我（这）家“的”院子很大。
描述主体是院子，家是其定位。
他们是：我（这）家有院子很大这个特点。
描述主体是“家”，院子是其具体特征。

两种都可以，第一种比较日本人一点

这是主谓谓语句。主语是「家は」，谓语是一个主谓结构，即「庭が広い」（可以视为谓语从句）。其中谓语部分的「庭が」是主语，「広い」是谓语。因为同时出现两个主语，所以也叫「家は」是“大主语”，「庭が」是“小主语”。
汉语里也有主谓谓语句的结构，比如「他态度不错」，主语「他」，谓语部分是「态度不错」，谓语部分又可以划分为主语「态度」和谓语「不错」。

は、が用来提示后部分的述部。広い是句子中的述語。如果你要改变は可以说家の庭は広い。这样主语变了述部也变了。

你试着比较一下中文里这两句：
我家/院子大
我家院子/大

は后面表示新内容，が前面表示新内容，「家は庭が広い」在这里对「庭」有一个聚焦的效果

の:家里“的”庭院很大
は:家是什么样的家？是有一个很大庭院的家

两种说法都可以的，强调的重点不同，和「象は鼻が長い」一个道理。
根据语境的不同，有时用の反而是唯一正确的说法。不谈语境只谈句意就是在耍6氓！
建议去搜一下沪江的帖子“那些年学日语遇到的“骗局”之「象は鼻が長い」 ”，写的很好很详细。

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那些年学日语遇到的“骗局”之「象は鼻が長い」
沪江日语教研 2022年05月11日 17:55
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学日语的同学大概都经历过下面的惨痛经历吧——
第一次学「～は～が～」句型时，老师一定会问，“大象鼻子长”这句话用日语怎么说。当我们兴冲冲地回答「象の鼻が長い」，却会被告知“错啦！应该说「象は鼻が長い」”。往往这时，老师都会一脸得意地环视一周，掠过茫然呆坐的我们，那神色活像刚赢得选举的政客要开始第一次施政演说。接着，老师多半会再强调一次：日语里说“大象鼻子长”必须要说成「象は鼻が長い」”，这和咱们中文是不一样的，这里的は是表示主题云云。”，至于同学再有疑问，老师多半便会语焉不详地一味强调起中日语言的不同来，什么“不能用汉语思维思考啦”什么“学语言不能细究为什么，记住就好”。
从此，我们的字典里没有了「象の鼻が長い」，也没有了「私の歯が痛い」这样的句子，试卷上的分数变得越来越好看，而日语在我们心里也逐渐变成了一个“怪物语言”。
教研君曾经也深受这个“骗局”的困扰而百思不得其解，不过随着学习的深入，终于有一天，教研君觉得对这个问题的认识有了质的飞跃。今天呢，教研君就想给同学们说说这个问题。难道“大象鼻子长”真的只能说「象は鼻が長い」吗？
首先上结论，「象の鼻が長い」这个句子没有任何错误，是完全成立的。那么问题来了，为什么老师会告诉我们“大象鼻子长”要说「象は鼻が長い」呢？「象は鼻が長い」和「象の鼻が長い」又有什么区别？稍安勿躁，教研君接下来就一一解答。
第一个问题其实由第二个问题所生，所以我们先从第二个问题入手。「象は鼻が長い」和「象の鼻が長い」有什么区别？
我们探讨句子的意义得在一定的语境中才有意义，单独抽离出来一句话，不说明语境（语境较明显的除外）约等于耍流氓。其实这两句话的使用语境是不同的，下面举了两个例子，试体会下面两句的不同。
（在动物园看到大象，发出感叹）「象は鼻が長いね」
(针对类似「象と牛と、どちらの鼻がながいですか」的提问进行回答)「象の鼻が長い」
使用语境不同，折射出来的是助词用法的区别和句子叙述重点的不同。第一句话，在动物园看到大象，为大象鼻子长这个现象所震惊的时候，其实人是以大象作为主题来统领全句的，「鼻が長い」是「象」这个主题的所具有的性质。也就这个句子的叙述重点，并不是在比较谁的鼻子长，而是指出大象具有鼻子长的特点。而在第二个例子中，说话人在面对谁的鼻子长的问题的时候，回答的焦点显然不是大象具有什么性质，而是哪个动物的鼻子长的问题，这个时候大象的鼻子自然要被单独提出来作为叙述的重点。值得一提的是，在口语中这句话往往会被省略为「象の」，但是却不能被省略为「象は」，这在一定程度上也可以说明两句的不同。
看到这里，相信一些同学会产生疑问，那「象の鼻は長い」这句话对吗？聪明的同学看了上面的解释，应该有一定想法了吧？既然「象は鼻が長い」是以「象」为主题，那么「象の鼻は」显然就有可能出现在以「象の鼻」为主题的语境里……脑洞大一点，比如说一个动物学家在描述大象的鼻子有什么特点的时候，很可能就会说「象の鼻は比較的に長いのであって、いろんな働きを持っている」，或者有人很好奇为什么大象的鼻子那么长的时候，可能会问「象の鼻はなぜながい？」，在这些语境里「象の鼻は長い」都是成立的。
现在同学们应该已经明白了，要看一句话是否成立，要具体情况具体分析。搞一刀切是不靠谱的。

大主语和小主语吗？

两个是都可以的 は前面放的主题 跟述部对应 が前面放的是主语则是跟谓语对应 家の庭が広い 主题和主语一致 都是家の庭　可以等价替换成家の庭は広い 我问 (私の)家の庭は広い、君は？的时候就是用这个回答　家は庭が広い这句话主题是家　主语是庭 相应的就是回答私の家は庭が広い　君の家は？这种句子的时候 主题是双方既知的话题 按照正常的句子走向双方极有可能是在讨论家里的房子 也可能是在讨论家里的庭院 所以谁更自然要看上下文。双方都在讨论庭的时候　家の庭は広い更自然 双方都在讨论家的时候　家は庭が広い更自然

家是大主语用は，庭院是小主语用が

两种其实都可以。
但按照日本人说话习惯，一般用は
如果按照中国人的中式思维说话，从中文硬搬过去，中国人习惯用の

は:是个有很大院子的家
の:家里院子很大