x⁶-y²=z³如果有非零整数解，一定有x, y, z两两互素的非零整数解
由(x³-y)(x³+y)=x⁶-y²=z³
如果z是奇数，那x³-y和x³+y互素，存在互素整数a, b使 x³-y=a³, x³+y=b³，z=ab
可得a³+b³=2x³，这个方程的解只有a=b=x或者a=-b, x=0，所以要么y=0，要么x=0
如果z是偶数，那(x³-y)/2和(x³+y)/2互素，存在互素整数a, b使以下两种情况中的一种成立
(1) x³-y=2a³, x³+y=4b³, z=2ab
由前两个式子可得 x³+(-a)³=2b³
要么x=-a=b，由a, b互素可知|a|=|b|=1，则x=1, y=3, z=-2 或者 x=-1, y=-3, z=-2
要么x=a, b=0，则 z=0
(2) x³-y=4b³, x³+y=2a³, z=2ab
同理可得 x³+(-a)³=2b³
要么x=-a=b，此时x=1, y=-3, z=-2 或者 x=-1, y=3, z=-2
要么x=a, b=0，则z=0
综上所述 x⁶-y²=z³的非零互素整数解只有 x=±1, y=±3, z=-2
那非零整数解的通解就是 y=±3x³, z=-2x², x为任意非零整数

x∧6－g∧2=z³
（x^3+g）（x^3-g）=z^3
x^3+g=da^3,x^3-g=d^2b^3或x^3+g=d^2a^3,x^3-g=db^3
2x^3=da^3+d^2b^3，2x^3=d^2a^3+db^3
以2x^3=da^3+d^2b^3，只要da^3=d^2b^3
2x^3=2da^3，x^3=da^3,d=s^3,x=as有解，此时a=bs^3

a³+a∧6=2b³
a³（a³+1）=2b³
a³+1=2c³有没有整数解？
a³－1=2c³有没有整数解？（因为a正负未知）
1³+1=2*1³
1³*（1³+1）=1³+1∧6
1³=1∧6所以不行

先证明如果x⁶-y²=z³，并且素数p整除整数x, y, z中的某两个，那p|x, p³|y, p²|z
若p|x且p|y，则p|x⁶-y²，p|z³，p|z，所以x/p, y/p, z/p都是整数
同时除以p可得 p⁵(x/p)⁶-p(y/p)²= p²(z/p)³
再同时除以p，p⁴(x/p)⁶-(y/p)²= p(z/p)³
由于p | p⁴(x/p)⁶，p | p(z/p)³，所以p | (y/p)²，p | y/p，那y/p²也是整数
同时除以p，得到 p³(x/p)⁶-p(y/p²)²= (z/p)³
同理p | (z/p)³，所以p | z/p，那z/p²是整数
再同时除以p得到 p²(x/p)⁶-(y/p²)²= p²(z/p²)³
同理p | (y/p²)²，所以p | y/p²，y/p³也是整数
因此p|x, p³|y, p²|z，同时除以p²得到 (x/p)⁶-(y/p³)²= (z/p²)³
若p|x且p|z，或者p|y且p|z，都可以推出p|x且p|y，所以之前的结论还是都成立的

假设对正整数X≥2，当|x|<X时方程的非零整数解都只有y=±3x³, z=-2x²，由2楼的结论X=2时假设是成立的 (这时x=±1, x, y, z一定两两互素，只有2楼的解(±1, ±3, -2))
如果存在Y, Z使得X⁶-Y²=(-X)⁶-Y²=Z³，并且X, Y, Z都不为0，那X, Y, Z不可能两两互素(互素解只有x=±1, y=±3, z=-2)
存在某个素数p整除其中两个数，从而推出 (X/p)⁶-(Y/p³)²= (Z/p²)³并且 X/p, Y/p³, Z/p²都是整数
由于|X/p|<X, |Y/p³|<Y, |Z/p²|<Z，由归纳假设 Y/p³=±3(X/p)³, Z/p²=-2(X/p)²
所以Y=±3X³, Z=-2X²，说明假设中的结论对X+1也成立，所以由数学归纳法，x⁶-y²=z³的所有非零整数解都是y=±3x³, z=-2x²的形式

（x+y）³+（x+z）³=2x³的解是
x=（－3y²－3z²±√（3*（6（yz）²－4yz³－4zy³－z∧4－y∧4）））/6（a+b）
若3*（6（yz）²－4yz³－4zy³－z∧4－y∧4）是平方数，则方程有解，证明这个不定方程是平方数或者不是平方数（y和z两未知数是一正一负的两个整数），若是平方数者a³+b³=2c³有解，反之无解。

x和g都是奇数时x³+y和x³－y分别为2a³和4b³，因为x和y互质，同是奇数，所以2a³和4b³最大公因数是2，如果还有公因数奇素数q则2a³和4b³都是q的倍数，x和y不互质，z也有q因子，x∧6－y²=z³不是最简的，
2a³+4b³=2x³
a³+2b³=x³
a³+（－x）³=2（－b）³
变为a³+b³=2c³

27a³+9a²+a=b²
a=（³√（27b²+1）－1）/9
27b²+1是立方数，开立方后减一是九的倍数，自然数中有没有？

只有一类整数解的证明我已经发过了呀，你这样更大概率是把问题变得越来越复杂了

其实是算y/z，除了－1还有没有其他的解？

3(6(yz)²-4y³z-4yz³-y³-z³) = (6yz)²-3(y+z)⁴=n²，要求这个方程的整数解应该还是得用无穷递降法

蔸蔸小猜想
a³+b³=2c³，那么a³、b³、c³是三个等差数列，三个数的积是立方数，找这样的数。如果找的3个数都不是立方数，是等差数列，积也是三次方数，就是这道题的复杂度降低找数。在看看蔸蔸小猜想，找这种数只有1 4 －2最简的一组，对应这的解只有1+8=9最简的一组，那个帖子没有别的解，那么这个帖子增加条件怎么能找到解？如果这个帖子还有解，那么那个帖子一定还有别的解，因为那个帖子条件少些，竟然那个帖子没有别的解，那么这个帖子怎么可能有别的解！

x∧6+y²=z³有没有解？怎么证明？