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概率博弈题

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12个球,黄绿红每种颜色各4个,甲先手,乙后手,两人按回合制抽取,全部抽完游戏结束。
甲在每回合开始前制定该回合抽取小球个数,最大值为6;乙在甲抽取小球后可以提出本回合完成后游戏结束,随后抽取本回合制定的小球数量。
游戏结束时拥有相同颜色小球多的一方获胜。
哪方获胜的概率更大?


IP属地:辽宁来自Android客户端1楼2024-09-19 15:50回复
    一样大
    其实不需要计算,只需要推理
    先将所有小球依次排列,记编号1到12
    甲如果提出每回合抽6个球时,甲胜的某种情况时,将所有球重新排列,第k号球变成第13-k号球,则该排列就是甲负。(此时,这两种排列必然不同)。同理,甲负的某情况必然可以得到排列不同的甲胜。平局时,两种排列可能相同。
    记甲胜概率为p胜,甲负概率为p负,平局概率为p平,有
    p胜=p负
    p胜+p平+p负=1
    既此时双方获胜概率相同(但不是50%)
    然后假设甲第一回合抽a个,第二回合抽b个,第三回合抽c个,类推。乙会一直将所有球抽完。那么将1到2a看成一个整体,2a+1到2b看成一个整体,类推。每个整体按上述抽6个的情况翻转,那么一样可以得到两者胜率相同。记此时甲胜率为p胜a。
    明显,p胜>p胜a时,甲会选择抽6个,p胜≤p胜a甲才可能选择抽abc……这种策略。
    不妨假设甲选择了p胜a的策略。当a不是1时(如果a是1,则考虑为甲抽了a+b个),那么当甲抽了a个后,甲具体抽了哪些球,乙是知道的,那么有三种情况
    ①此时如果乙选择结束,乙的胜率小于p胜a
    ②此时如果乙选择结束,乙的胜率等于p胜a
    ③此时如果乙选择结束,乙的胜率大于p胜a
    明显①②时,乙不会选择结束,③时乙会选择结束,而③时,如果乙不选择终止,甲是有概率获胜。但乙选择了终止,相当于p胜a变小,而甲负的概率p负a变大,最终就是甲获胜的概率<乙获胜的概率。
    那么甲就不会选择p胜a的策略,而会选择抽6个的策略(虽然可能就算乙可以选择终止时,甲胜概率依然>甲选抽6个胜率,但此时甲胜概率是小于乙胜概率的。或者考虑为平局就重新开始,那么抽6个甲胜概率就是50%,抽a个概率甲胜概率就<50%了)
    所以甲选择抽6个既可,两者胜率相同。


    IP属地:湖北来自Android客户端2楼2024-09-20 07:59
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