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不可达基数究竟有多大?

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(弱)不可达基数,从定义上,规定为:正规的、极限的、不可数的基数。
强不可达基数则是:正规的、强极限的、不可数的基数。
(当然 如果承认连续统假设 强弱不可达基数相等)
这些定义直接解释的话,很难直观理解不可达基数的巨大。比如正规的定义,就是:一种特殊基数。如果α为极限序数,且cf(α)=α(α的共尾度等于其本身),则称α为正规的。不正规的无穷基数称为奇异基数。
为了让大家尽可能直观理解不可达基数的巨大,我们将从ω开始,用枚举的方法,来接近它


IP属地:湖南1楼2024-09-24 22:40回复
    自顶,隔一会更新


    IP属地:湖南来自Android客户端2楼2024-09-25 07:18
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      ω是一个正规、极限、可数的序数,最小的超限序数
      下一个超限序数是ω+1
      ω+1从基数意义的大小(就是势)和ω相等——均为阿列夫零。其实,只要是可数序数,势都为阿列夫零。
      ω+1之后就是ω+2, ω+3, ω+4...ω+100...ω+10^100...
      接着, 我们来到了ω+ω, 然后又是ω+ω+1, ω+ω+2...ω+ω+ω...ω*4
      然后, 我们来到了ω*ω, 也就是ω^2
      ω^2自然不是终点, 还可以ω^2+ω, ω^2+ω^2, ω^3, ω^4......
      最后, 我们来到了大名鼎鼎的ω^ω——所谓的无限盒子就是这个量级
      需要注意的是, 序数运算不满足交换律, 比如, 2+ω≠ω+2, 前者在序数意义上和ω一样大


      IP属地:湖南3楼2024-09-27 18:50
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        然后,我们把ω^ω再套一层盒子, 就成了(ω^ω)*ω, 也就是ω^(ω+1)
        继续套盒子, ω^(ω+2), ω^(ω+3)...... 直到ω^(ω+ω), 也就是双重无限盒子
        然后三重无限盒子也很容易想得到, 是ω^(ω*3), 然后是ω^(ω*4)
        接着就是无限层无限盒子, ω^ω^2
        继续枚举, ω^(ω^2+1), ω^(ω^2+ω), ω^(ω^2+ω^2), ω^((ω^2)*3), ω^ω^3
        ω^(ω^3+ω), ω^(ω^3+ω^3), ω^ω^4, ω^ω^5......
        最终, 我们来到了无限次方无限盒子, ω^ω^ω


        IP属地:湖南来自Android客户端4楼2024-09-28 10:20
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          我们把无限层无限盒子记为[1,0]层无限盒子, 再套一层就变成了[1,1]层无限盒子(对应ω^(ω^2+ω), 再套无限层呢? 就是[2,0]层无限盒子, 对应ω^(ω^2+ω+2)
          很简单, [1,0,0]层无限盒子对应ω^ω^3, 而[1,0,0,0]层无限盒子对应ω^ω^4
          有些世界观. 会定义世界等级的概念, 类似于:
          0级世界 ω
          1级世界 ω^2
          2级世界 ω^3
          (上述均为0阶世界)
          1阶世界 ω^ω
          1阶1级世界 ω^(ω+1)
          2阶世界 ω^(ω*2)
          (以上均为0段世界)
          1段世界 ω^ω^2
          1段0阶1级世界 ω^(ω^2+1)
          1段1阶世界 ω^(ω^2+ω)
          2段世界 ω^(ω^2+ω^2)
          (以上均为0星世界)
          1星世界 ω^ω^3
          (以上均为0品世界)
          1品世界 ω^ω^4
          算了, 穷尽一切名词, 搞什么世界等级, 也只有在ω^ω^ω内打滚


          IP属地:湖南来自Android客户端5楼2024-09-28 10:30
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            然后,我们在ω^ω^ω上再套一层盒子, 也就只有ω^(ω^ω+1)罢了
            再套无限层盒子, 也就是ω^(ω^ω+ω)
            然后ω^(ω^ω+ω^2), ω^(ω^ω+ω^ω), ω^(ω^ω*3)......终于, 我们来到了ω^ω^(ω+1)


            IP属地:湖南6楼2024-11-15 11:44
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              接着,又是 ω^ω^(ω+2), ω^ω^(ω+ω), ω^ω^ω^2, ω^ω^(ω^2+1), ω^ω^(ω^2+ω), ω^ω^ω^3...... 终于, 我们来到了ω^ω^ω^ω, 也可以写作ω^^4
              ω^^4到ω^^5之间的层级比ω^^3到ω^^4还要多得多......
              然后我们又可以有ω^^6, ω^^7, ω^^100......
              最后, 我们来到了一个非常关键的节点: ω^^ω, 它是f(α)=ω^α的一个最小的不动点. 他还有一个称呼, 叫ε0.


              IP属地:湖南7楼2024-11-15 12:35
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