sqrt(f(x))不一定是多项式吧，如果是也只能推出系数是有理数，比如g(x)=x(x+1)/2 的系数就不是整数，但对任何整数n，g(n)都是整数

（1）首先如果deg(f)是偶数且首项系数为平方数，则易证sqrt(f(x))=g(x)是有理系数多项式；由于g(x)^2为整系数，通过将g写为(有理数)*(本原多项式)的形式，易知g为整系数。（2）一般情况取充分大正整数k使得f(x)与f(x+k)互素，由（1）知f(x)f(x+k)是整系数多项式的平方，但f(x)与f(x+k)互素，由唯一分解定理知它们各自都是整系数多项式的平方。

一眼沙袋

gn不一定有限项

之前看过一个类似的问题

如果f(x)不是某个整系数多项式的平方，那f(x)也不为0，按照唯一分解性f(x)总能表示成若干个互不相同的不为0, ±1 (零元与单位) 的不可约多项式g₁(x), g₂(x), …(至少一个)，与一个多项式的平方h²(x)的乘积
总存在某个正整数N，使得对所有与N互素的整数n，g₁(n), g₂(n), …的值是全都不为0且两两互素的整数
又因为乘积是完全平方，所以g₁(n), g₂(n)每一个的绝对值都是完全平方数
若g₁(x)是次数至少为1的不可约整系数多项式，按照Hensel引理，对足够大的素数p，如果存在整数n和正整数t使Vp(g₁(n))=t，则存在整数n'使Vp(g₁(n'))=t+1且(n', N)=1
而在此条件下g₁(n)在n取遍所有与N互素的整数时又有无穷多个不同素因子，所以一定存在整数n与素数p使Vp(g₁(n))是正奇数且(n, N)=1，也就说明不可能对任意(n, N)=1，g₁(n)都是完全平方数
所以g₁(x)一定是常数，绝对值是某个素数，同理g₂(x), …, 都是绝对值为某个素数的常数，并且它们两两互素，乘积不是完全平方数，这时f(x)=C*h²(x)不可能满足要求，就矛盾了

不能假设g(n)具有你写的那种形式，万一g(n)＝sin n怎么办