轨迹可逆原理
作者：熊万晟
高二的某天晚上，我正在做物理作业。其中有一道题的大致内容为：某物体做平抛运动，初始位置为A点，运动一段时间后以速度为v经过B点。若物体以初速度为-v从B点出发，问物体是否会经过A点。解答该题关键在于将物体的运动分解为竖直方向和水平方向的运动。首先，在物体运动轨迹所在的平面建立平面直角坐标系，以A点为原点，物体在A点的速度方向为横坐标。由于物体从A点或B点开始运动，其水平方向的速度恒定不变且大小相等，方向相反。因此物体从B点开始反向运动至物体的横坐标与A点相同时,所花的时间与物体从A点运动到B点所花的时间相同。又由于物体在A-B和B-（0，y）的竖直方向的运动均为匀变速直线运动，且其时间和加速度相等，两运动中在B点时竖直方向的速度等大反向，因此A-B和B-(0,y)竖直方向的运动的平均速度大小相等，从而得出物体在A-B和B-(0,y)的竖直方向上的位移大小相等，方向相反。也就是说y=0,证明了物体反向运动会经过A点。既然物体在反向运动中会经过A点，那么其轨迹是否与A-B的重合呢？取A-B轨迹上的任意一点为C点，将以上证明过程中的A点替换为C点，建立的坐标系仍不变，同理可求出物体在B-A运动中会经过C点。这同时也证明出了如果物体做抛体运动也满足该规律。光路可逆原理中光还满足在同一位置的速度大小相等，该物体在路径可逆过程中是否满足呢？我运用机械能守恒轻松地得出了物体在沿路返回时，任意一位置的速度与之前的大小相等。这不禁使我深思：为何物体在做抛体运动时，会满足“轨迹可逆原理”？物体的运动规律主要取决于物体的初速度、质量和所受的合外力。显然仅改变物体的质量，物体做抛体运动的轨迹和速度不会发生变化，因此质量并没有对该规律做出贡献。那么初速度呢？由于是抛体运动，物体的初速度可以是任意大小和任意方向。因此，初速度也没作出贡献。这可以推出物体满足“轨迹可逆原理”仅仅是因为合外力作出了贡献。物体在做抛体运动时所受到的合外力为恒力，即物体所受的重力。于是我开始思考：物体所受到合外力为变力时是否也会满足该规律呢？与抛体运动最相近的且所受合外力为变力的运动为太空中绕地球做匀速圆周运动或椭圆轨迹运动的人造卫星。其运用对称性可以很轻松地证明其满足“轨迹可逆原理”。那么物体在这几个运动过程中所受的合外力的共性是什么呢？原来当物体确定后，其所受合外力的大小和方向仅与物体所在的位置有关。可以将该类力定义为位置力。我进一步大胆推测：物体所受的合外力为位置力时，其运动满足轨迹可逆原理。现在问题的关键为如何证明该推测？既然已经证明出：物体在做抛体运动时，满足该原理，那么可以用该结论来证明。物体在受到位置力时，可将物体的运动轨迹分为无数个长度趋近为零的小段轨迹，并且使物体在每小段轨迹所受的合外力没有突变发生。由于每个小段轨迹的长度趋近为零，在该小段轨迹上物体所受的合外力可以认为是恒力。因此物体在任意一个小段轨迹的运动可看作为抛体运动，满足该规律。物体在所有小段均满足该规律可推出物体在整个运动过程均满足该规律。综上所述，物体在所受的合外力为位置力时，其运动满足轨迹可逆原理。也就是：若物体在三维空间受到的合外力仅与物体所在的位置有关。已知物体从A点出发，其速度为v1，到达B点时速度为v2。若物体从B点出发，其速度为-v2，则物体必定会到达A点，且其在A点的速度必为-v1。