《用解析法研究圆锥曲线的几何理论》为谢彦麟先生所著，全书以解析法研究了上百道圆锥曲线的基本命题以及剑桥(圆锥曲线)问题。虽然以解析法为主，但一些用纯几何法更简单能得出答案的习题，作者依然使用纯几何法，例如习题1.6。
该题答案使用仿射变换将椭圆变换成圆，用相似比来证明，但这种解法并不适用于双曲线(当然作者也提到了解析法证明，但只是说明解析法可证，并没有给出解答过程)。本人自己动手简单算了一下，并不难算，下面给出证明过程:
若Γ为椭圆，设P(acosθ，bsinθ)，Q(acosφ，bsinφ)，N(acosθ，0)，A(a，0)，A′(-a，0)。显然，直线PN方程为ⅹ=acosθ，PN^2=(bsinθ)^2。直线AQ:y/bsinφ=(x-a)/acosφ-a→y=(ⅹbsinφ-absinφ)/a(cosφ-1)，x=acosθ代入方程AQ中，得:y(M)=absinφ(cosθ-1)/a(cosφ-1)。同理可得:y(L)=absinφ(cosθ+1)/a(cosφ+1)。LN·MN=y(M)·y(L)=[lbk](absinφ)^2[rbk]·[lbk](cosθ)^2-1[rbk]/(a^2)·[lbk](cosφ^2)-1[rbk]=(b^2)·(sinφ)^2·[lbk](cosθ)^2-1[rbk]/(cosφ)^2-1=b^2·sinφ^2·(-sinθ^2)/(-sinφ^2)=(b·sinθ)^2=PN^2，命题得证。
Γ为双曲线的证明过程和为椭圆基本一致，设P(asecθ，±btanθ)，Q(asecφ，tanφ)，NP^2=(b·tanθ)^2。中间运算过程与椭圆一致，故从略。LN·MN=b^2·(tanφ)^2·[lbk](secθ)^2-1[rbk]/[lbk](secφ)^2-1[rbk]=b^2·(sinφ)^2·(tanθ)^2/(sinφ)^2=(b·tanθ)^2=NP^2，若设Q(asecφ，-tanφ)，不影响LN·MN的值，仍是(b·tanθ)^2，命题得证。
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最后，感谢您的阅读。
该题答案使用仿射变换将椭圆变换成圆，用相似比来证明，但这种解法并不适用于双曲线(当然作者也提到了解析法证明，但只是说明解析法可证，并没有给出解答过程)。本人自己动手简单算了一下，并不难算，下面给出证明过程:
若Γ为椭圆，设P(acosθ，bsinθ)，Q(acosφ，bsinφ)，N(acosθ，0)，A(a，0)，A′(-a，0)。显然，直线PN方程为ⅹ=acosθ，PN^2=(bsinθ)^2。直线AQ:y/bsinφ=(x-a)/acosφ-a→y=(ⅹbsinφ-absinφ)/a(cosφ-1)，x=acosθ代入方程AQ中，得:y(M)=absinφ(cosθ-1)/a(cosφ-1)。同理可得:y(L)=absinφ(cosθ+1)/a(cosφ+1)。LN·MN=y(M)·y(L)=[lbk](absinφ)^2[rbk]·[lbk](cosθ)^2-1[rbk]/(a^2)·[lbk](cosφ^2)-1[rbk]=(b^2)·(sinφ)^2·[lbk](cosθ)^2-1[rbk]/(cosφ)^2-1=b^2·sinφ^2·(-sinθ^2)/(-sinφ^2)=(b·sinθ)^2=PN^2，命题得证。
Γ为双曲线的证明过程和为椭圆基本一致，设P(asecθ，±btanθ)，Q(asecφ，tanφ)，NP^2=(b·tanθ)^2。中间运算过程与椭圆一致，故从略。LN·MN=b^2·(tanφ)^2·[lbk](secθ)^2-1[rbk]/[lbk](secφ)^2-1[rbk]=b^2·(sinφ)^2·(tanθ)^2/(sinφ)^2=(b·tanθ)^2=NP^2，若设Q(asecφ，-tanφ)，不影响LN·MN的值，仍是(b·tanθ)^2，命题得证。
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