1930年保罗·狄拉克出版了他的著作《量子力学原理》（Principles of Quantum Mechanics），这是整个科学史上的一个里程碑之作。狄拉克将量子力学的最重要的基础严谨地公式化，在狄拉克的理论中一个量子系统有三个主要部分：量子态、可观察量和动力学（即其发展趋势），此外物理对称性也是一个非常重要的特性。
[编辑] 公设
非相对论性的单粒子量子力学的数学理论基於以下公设：
1.一个物理系统於时间点 t 的状态可以由希尔伯特空间   中的一个归一化向量   来定义。这里的希尔伯特空间指的是定义了内积的平方可积的线性向量空间。
2.每个可观测量 A 可以通过状态空间中的一个厄米算符   来表示，可观测量 A 在状态   的期望值（即测量结果的平均值）为   。进一步的，对应於可观测量的厄米算符的所有本徵态构成希尔伯特空间中的正交归一的完备函数系。任意一个态向量都可以由该算符的本徵态展开。如果系统处於算符的本徵态上，对应的可观测量具有唯一确定的测量值，即该本徵态对应的本徵值。对於任意的态，观测量的测量值是各本徵值的带权平均。量子力学中的测量是不可逆的，测量后系统处於该测量值的一个特徵向量上。
3.位置算符和动量算符之间满足正则对易关系。由此对易关系可以确定动量算符的表达式，而所有的其他算符都可以由位置算符和动量算符表出。由算符的对易式可导出不确定性原理：两个可观察量   和   之间的不确定性为   。
4.状态向量   的动力学演化由薛丁格方程式表示：   ，在这里哈密顿算符   通常对应於系统的总能量。
为了描写无法获得最多资讯的量子状态物理学家创造了密度矩阵。密度矩阵包含了它所描写的系统通过测量可以获得的最多资讯。
近年来数学家和物理学家才找到了一个非常广义的可观察量的数学描述，即广义量子测量（POVM）。这个理论在传统的教科书中基本上还未提到。完备正映射（completely positive maps）可以非常广泛、而且在数学上非常优美地描写量子系统的运算。这个新的描写方法扩展了上面所叙述的传统的诺伊曼方法，而且还可以描写上述方法无法描写的现象，比如持续性的不确定性的测量等等。
[编辑] 态
主条目：量子态
在古典力学中，一个拥有 f 自由度的物理系统及其随时间的发展，可以通过 f 对正则坐标   完全决定。在量子力学中，两个相互共轭的可观察量，从原则上，就无法无限精确地被测量。因此，如何相应有意义地，定义一个量子物理学的系统，是一个非常基本的问题。在量子力学中，一个物理系统仅通过同时可以被测量的可观察量来定义，是它与古典力学最主要的区别。只有通过彻底地使用这样的状态定义，才能够理论性地描写许多量子物理现象。
在量子力学中，一个物理状态   由最多   个同时可以被测量的可观察量定义。这些同时可以被测量的可观察量，称为相容可观察量。在测量时，一个可观察量，可以拥有一定的值。可能获得的测量值 n ，被称为可观察量的本徵值。根据系统的不同，它可以是离散的，也可以是连续的。属於这些本徵值的状态，被称为该可观察量的本徵态。由於上面的定义中的可观察量，是相容的，因此它们互相之间不影响。通过使用适当的过滤，一个已知的量子物理系统，可以被预备到一个一定的状态。以上相容可观察量的本徵态为
这样的状态常被称为「纯量子状态」。
值得注意的是不像古典系统那样，这样的量子状态中，并非所有可测量的特性均被确定。对於与上述相容可观察量不相容的物理量的本徵值，只能给出获得一定测量值的机率，但是每个测量值肯定是其可观察量的本徵值。这个原则性的不确定性，是从前面所提到的不确定性原理来的。它是量子力学最重要的结论，同时也是许多人反对量子力学的原因。


对於一个现有的量子物理学系统来说，一个可观察量的本徵值，所构成的本徵状态，组成一个线性的状态空间   。从数学的角度来看这个空间是一个希尔伯特空间。这个状态空间，表示了所有这个系统所可能拥有的状态。因此，即使是非常简单的量子力学系统，比如一个由量子谐振子组成的系统，它的状态空间就已经有无限多个维了。非常重要的是多个状态的线性组合，也是该状态空间的一部分，即使这个线性组合，不是可观察量的本徵态。
这个现象被称为多个状态的叠加。比较直观地，这就好像一个平面内的两个向量的和，依然是该平面内的一个向量。
最简单的一个这样叠加的二态系统的例子是一个量子位元（或称量子比特）。
[编辑] 动力学演化
量子态的动力学有不同的模型（也被称为「绘景」）来表示。通过重新定义算符和状态这些不同的模型可以互相转换，它们实际上是等价的。
薛丁格绘景对一个系统的动力学是这样描述的：一个状态由一个可导的、以时间 t 为参量的、希尔伯特状态空间上的函数定义。假如   是对一个时间点 t 的状态描述的话，那麼以下的薛丁格方程式成立：
这里，H 是哈密顿算符，相当於整个系统的总能量的可观察量，是一个紧凑地定义的、自伴算符，i 是虚数单位， 是普朗克常数。
在海森堡绘景，状态本身不随时间变化，但是可观察量的算符随时间变化。随时间变化的海森堡运算符由以下微分方程式定义：
通过数学演化，可以证明，假如可观察量 A 在薛丁格绘景中，不随时间变化的话，通过薛丁格绘景和海森堡绘景获得的 A 的期望值是相同的。
在交互作用绘景中，状态和算符均可随时间变化。但是，状态和算符的哈密顿算符不同。尤其在状态随时间的变化，有精确的解的情况下，这个绘景非常有用。在这个情况下，所有的数学计算，全部规限於算符的时间变化上了。因此，对於状态的哈密顿算符被称为「自由哈密顿算符」，对可观察量的哈密顿算符被称为「交互作用哈密顿算符」。动力学的发展可以由以下两个公式来描写：
海森堡绘景最类似於古典力学的模型，从教育学的观点来看薛丁格绘景最容易理解。互相作用绘景常被用在摄动理论中（尤其是在量子场论中）。
有些波函数形成不随时间变化的机率分布。许多在古典力学中随时间动态变化的过程，在量子力学中形成这样的「定态波函数」。比如说，原子中的一颗电子，在其最低状态下，在古典力学中，由一个围绕原子核的圆形轨道来描写，而在量子力学中则由一个静态的、围绕原子核的球状波函数来描写。
薛丁格方程式与海森堡方程式和交互作用绘景中的方程式一样均是偏微分方程式，只有在少数情况下，这些方程式才能被精确地解。氦原子的电子结构就已经无法被精确地解了。但是，实际上，有许多不同的技术来求得近似解。一个例子是摄动理论，它使用已知的简单的模型系统的解来计算更复杂的模型。尤其在复杂模型中的交互作用，可以被看作是对简单模型的「小」干扰时，这个技术特别有效。另一个技术是所谓的半古典近似，它尤其适用於量子效应比较小的系统中。
另一个计算量子力学系统的方法是理察·费曼的费曼图积分的方法。在这个技术中，一个量子力学系统的状态值，等於这个系统从一个状态过渡到另一个状态的所有可能的路径的可能性的和。
[编辑] 一个具体例子
在这里以一个自由粒子为例。一个自由粒子的量子态，可以被一个任意在空间分布的波函数来表示。位置和动量是该粒子的可观察量。位置的本徵态之一，是一个在一个特定的位置 x ，拥有一个巨大的值，在所有其它位置的值为 0 的波函数。在这个情况下，进行一次位置测量的话，可以确定 100% 的可能性，该粒子位於 x 。与此同时，其动量的本徵态是一个平面波。事实上，该平面波的波长为 h / p ，在这里 h 是普朗克常数，而 p 是该本徵态的动量。


一般来说，一个系统不会处於其任何一个可观察量的本徵态上，但是假如我们测量一个可观察量的话，其波函数就会立刻处於该可观察量的本徵态上。这个过程被称为波函数塌缩。假如，我们知道测量前的波函数是怎样的话，我们可以计算出它塌缩到不同本徵态的机率。比如一般来说，上述自由粒子的波函数是一个波包，这个波函数分布於一个平均位置 x0 周围。它既不是位置，也不是动量的本徵态。但假如我们测量这个粒子的位置的话，我们无法精确地预言测量结果，我们只能给出测量结果的可能性。可能我们测量到的位置在 x0 附近，因为这里的可能性最高。测量后该粒子的波函数倒塌到了一个位於测量结果 x 的位置本徵态。
使用薛丁格方程式，来计算上述自由粒子，获得的结果，可以看出该波包的中心，以恒定的速度在空间运动，就像在古典力学中，一个不受力的粒子一样。但是随著时间的发展，这个波包会越来越弥散，这说明其位置测量会越来越不精确。这也说明，随著时间的发展，本来非常明确的位置本徵态会不断弥散，而这个弥散的波包就已经不再是位置的本徵态了。
[编辑] 物理意义
[编辑] 基础
[编辑] 测量过程
量子力学与古典力学的一个主要区别，在於测量过程在理论中的地位。在古典力学中，一个物理系统的位置和动量，可以无限精确地被确定和被预言。至少在理论上，测量对这个系统本身，并没有任何影响，并可以无限精确地进行。在量子力学中，测量过程本身对系统造成影响。
要描写一个可观察量的测量，需要将一个系统的状态，线性分解为该可观察量的一组本徵态的线性组合。测量过程可以看作是在这些本徵态上的一个投影，测量结果是对应於被投影的本徵态的本徵值。假如，对这个系统的无限多个拷贝，每一个拷贝都进行一次测量的话，我们可以获得所有可能的测量值的机率分布，每个值的机率等於对应的本徵态的系数的绝对值平方。
由此可见，对於两个不同的物理量 A 和 B 的测量顺序，可能直接影响其测量结果。事实上，不相容可观察量就是这样的，即   。
[编辑] 不确定性原理
主条目：不确定性原理
最著名的不相容可观察量，是一个粒子的位置 x 和动量 p 。它们的不确定性 Δx 和 Δp 的乘积，大於或等於普朗克常数的一半：
这个公式被称为不确定性原理。它是由海森堡首先提出的。不确定的原因是位置和动量的测量顺序，直接影响到其测量值，也就是说其测量顺序的交换，直接会影响其测量值。[1]
海森堡由此得出结论，认为不确定性是由於测量过程的限制导致的，至於粒子的特性是否真的不确定还未知。波耳则将不确定性看作是物理系统的一个原理。今天的物理学见解基本上接受了波耳的解释。不过，在今天的理论中，不确定性不是单一粒子的属性，而是一个系综相同的粒子的属性。这可以视为一个统计问题。不确定性是整个系综的不确定性。也就是说，对於整个系综来说，其总的位置的不确定性 Δx 和总的动量的不确定性 Δp ，不能小於一个特定的值：
[编辑] 机率
通过将一个状态分解为可观察量本徵态   的线性组合，可以得到状态在每一个本徵态的机率幅 ci 。这机率幅的绝对值平方 | ci | 2 就是测量到该本徵值 ni 的机率，这也是该系统处於本徵态   的机率。ci 可以通过将   投影到各本徵态   上计算出来：
因此，对於一个系综的完全相同系统的某一可观察量，进行同样地测量，一般获得的结果是不同的；除非，该系统已经处於该可观察量的本徵态上了。通过对系综内，每一个同一状态的系统，进行同样的测量，可以获得测量值 ni 的统计分布。所有试验，都面临著这个测量值与量子力学的统计计算的问题。
[编辑] 同样粒子的不可区分性和包立原理
由於从原则上，无法彻底确定一个量子物理系统的状态，因此在量子力学中内在特性（比如质量、电荷等）完全相同的粒子之间的区分，失去了其意义。在古典力学中，每个粒子的位置和动量，全部是完全可知的，它们的轨迹可以被预言。通过一个测量，可以确定每一个粒子。在量子力学中，每个粒子的位置和动量是由波函数表达，因此，当几个粒子的波函数互相重叠时，给每个粒子「挂上一个标签」的做法失去了其意义。


这个全同粒子 (identical particles) 的不可区分性，对状态的对称性，以及多粒子系统的统计力学，有深远的影响。比如说，一个由全同粒子组成的多粒子系统的状态，在交换两个粒子「1」和粒子「2」时，我们可以证明，不是对称的   ，就是反对称的   。对称状态的粒子被称为玻色子，反对称状态的粒子被称为费米子。此外自旋的对换也形成对称：自旋为半数的粒子（如电子、质子和中子）是反对称的，因此是费米子；自旋为整数的粒子（如光子）是对称的，因此是玻色子。
这个深奥的粒子的自旋、对称和统计学之间关系，只有通过相对论量子场论才能导出，但它也影响到了非相对论量子力学中的现象。费米子的反对称性的一个结果是包立不相容原理，即两个费米子无法占据同一状态。这个原理拥有极大的实用意义。它表示在我们的由原子组成的物质世界里，电子无法同时占据同一状态，因此在最低状态被占据后，下一个电子必须占据次低的状态，直到所有的状态均被满足为止。这个现象决定了物质的物理和化学特性。
费米子与玻色子的状态的热分布也相差很大：玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计，而费米子则遵循费米-狄拉克统计。
[编辑] 量子纠缠
主条目：量子纠缠
往往一个由多个粒子组成的系统的状态，无法被分离为其组成的单个粒子的状态，在这种情况下，单个粒子的状态被称为是纠缠的。纠缠的粒子有惊人的特性，这些特性违背一般的直觉。比如说，对一个粒子的测量，可以导致整个系统的波包立刻塌缩，因此也影响到另一个、遥远的、与被测量的粒子纠缠的粒子。这个现象并不违背狭义相对论，因为在量子力学的层面上，在测量粒子前，你不能定义它们，实际上它们仍是一个整体。不过在测量它们之后，它们就会脱离量子纠缠这状态。
[编辑] 量子去相干
主条目：量子去相干
作为一个基本理论，量子力学原则上，应该适用於任何大小的物理系统，也就是说不仅限於微观系统，那麼，它应该提供一个过渡到巨观「古典」物理的方法。量子现象的存在提出了一个问题，即怎样从量子力学的观点，解释巨观系统的古典现象。尤其无法直接看出的是，量子力学中的叠加状态，如何应用到巨观世界上来。1954年，爱因斯坦在给马克斯·波恩的信中，就提出了怎样从量子力学的角度，来解释巨观物体的定位的问题，他指出仅仅量子力学现象太「小」无法解释这个问题。
这个问题的另一个例子是由薛丁格提出的薛丁格的猫的思想实验。
直到1970年左右，人们才开始真正领会到，上述的思想实验，实际上并不实际，因为它们忽略了不可避免的与周围环境的交互作用。事实证明，叠加状态非常容易受周围环境的影响。比如说，在双狭缝实验中，电子或光子与空气分子的碰撞或者发射辐射，就可以影响到对形成绕射非常关键的各个状态   之间的相位的关系。在量子力学中这个现象，被称为量子去相干。它是由系统状态与周围环境影响的交互作用导致的。这个交互作用可以表达为每个系统状态   与环境状态   的纠缠。其结果是只有在考虑整个系统时（即实验系统+环境系统）叠加才有效，而假如孤立地只考虑实验系统的系统状态   的话，那麼就只剩下这个系统的「古典」分布了[2]。
量子去相干时间（秒）[2]
自由电子 10微米的尘埃 保龄球
300K，标准气压 10-12 10-18 10-26
300K，高真空 10 10-4 10-12
阳光（地球表面） 109 10-10 10-18
热辐射（300K） 107 10-12 10-20
宇宙微波辐射（2.73K） 109 10-7 10-18
右表列出了不同物体和环境里，量子去相干的速度。显然即使在非常弱的环境影响下，一个巨观物体也已经在极短的时间里去相干了。
在上面的这个叙述中，有一个内在的假设，即去相干后的系统，自然地是我们所熟悉的古典系统。但是，这个假设并不是那麼理所当然。比如说，去相干后的巨观系统，一般是我们所熟悉的位置状态明确的状态，而微观系统则往往去相干为位置状态不明确的状态（比如能量特徵状态），这是为什麼呢？这个问题的答案也来自周围环境对系统的影响。事实上，只有不被去相干过程直接摧毁的状态，才提供一个坚固的、去相干后的可观察量[2][3]。


量子去相干是今天量子力学解释巨观量子系统的古典性质的主要方式[3]。
对於量子计算机来说，量子去相干也有实际意义。在一台量子计算机中，需要多个量子状态尽可能地长时间保持叠加。去相干时间短是一个非常大的技术问题。
[编辑] 应用
在许多现代技术装备中，量子物理学的效应起了重要的作用。从雷射、电子显微镜、原子钟到核磁共振的医学图像显示装置，都关键地依靠了量子力学的原理和效应。对半导体的研究导致了二极体和三极体的发明，最后为现代的电子工业铺平了道路。在核武器的发明过程中，量子力学的概念也起了一个关键的作用。
在上述这些发明创造中，量子力学的概念和数学描述，往往很少直接起了一个作用，而是固体物理学、化学、材料科学或者核物理学的概念和规则，起了主要作用，但是，在所有这些学科中，量子力学均是其基础，这些学科的基本理论，全部是建立在量子力学之上的。
以下仅能列举出一些最显著的量子力学的应用，而且，这些列出的例子，肯定也非常不完全。实际上，在现代的技术中，量子力学无处不在。
[编辑] 原子物理和化学
任何物质的化学特性，均是由其原子和分子的电子结构所决定的。通过解析包括了所有相关的原子核和电子的多粒子薛丁格方程式，可以计算出该原子或分子的电子结构。在实践中，人们认识到，要计算这样的方程式实在太复杂，而且在许多情况下，只要使用简化的模型和规则，就足以确定物质的化学特性了。在建立这样的简化的模型中，量子力学起了一个非常重要的作用。
一个在化学中非常常用的模型是原子轨道。在这个模型中，分子的电子的多粒子状态，通过将每个原子的电子单粒子状态加到一起形成。这个模型包含著许多不同的近似（比如忽略电子之间的排斥力、电子运动与原子核运动脱离等等），但是它可以近似地、准确地描写原子的能级。除比较简单的计算过程外，这个模型还可以直觉地给出电子排布以及轨道的图像描述。
通过原子轨道，人们可以使用非常简单的原则（洪德定则）来区分电子排布。化学稳定性的规则（八隅律、幻数）也很容易从这个量子力学模型中推导出来。
通过将数个原子轨道加在一起，可以将这个模型扩展为分子轨道。由於分子一般不是球对称的，因此这个计算要比原子轨道要复杂得多。理论化学中的分支，量子化学和计算机化学，专门使用近似的薛丁格方程式，来计算复杂的分子的结构及其化学特性的学科。


原子核物理学
原子核物理学是研究原子核性质的物理学分支。它主要有三大领域：研究各类次原子粒子与它们之间的关系、分类与分析原子核的结构、带动相应的核子技术进展。
[编辑] 重要主题
放射性衰变
核反应
核分裂
核融合
原子核模型
液滴模型
壳层模型
集体模型
[编辑] 固体物理学
主条目：固体物理学
为什麼金刚石硬、脆和透明，而同样由碳组成的石墨却软而不透明？为什麼金属导热、导电，有金属光泽？发光二极体、二极体和三极体的工作原理是什麼？铁为什麼有铁磁性？超导的原理是什麼？
以上这些例子，可以使人想象出固体物理有多麼多样性。事实上，凝聚态物理学是物理学中最大的分支，而所有凝聚态物理学中的现象，从微观角度上，都只有通过量子力学，才能正确地被解释。使用古典物理，顶多只能从表面上和现象上，提出一部分的解释。
以下列出了一些量子效应特别强的现象：
晶格现象：音子、热传导
静电现象：压电效应
电导：绝缘体、导体、半导体、电导、能带结构、近藤效应、量子霍尔效应、超导现象
磁性：铁磁性
低温态：玻色-爱因斯坦凝聚、超流体、费米子凝聚态
维效应：量子线、量子点
[编辑] 量子资讯学
目前研究的焦点在於一个可靠的、处理量子状态的方法。由於量子状态可以叠加的特性。理论上，量子计算机可以高度平行运算。它可以应用在密码学中。理论上，量子密码术可以产生完全可靠的密码。但是，实际上，目前这个技术还非常不可靠。另一个当前的研究项目，是将量子状态传送到远处的量子隐形传送。


与古典物理的界限
1923年，尼尔斯·波耳提出了对应原理，认为量子数（尤其是粒子数）高到一定的极限后的量子系统，可以很精确地被古典理论描述。这个原理的背景是，事实上，许多巨观系统，可以非常精确地被古典理论，如古典力学和电磁学来描写。因此一般认为在非常「大」的系统中，量子力学的特性，会逐渐退化到古典物理的特性，两者并不相抵触。
因此，对应原理是建立一个有效的量子力学模型的重要辅助工具。量子力学的数学基础是非常广泛的，它仅要求状态空间是希尔伯特空间，其可观察量是线性的算符。但是，它并没有规定在实际情况下，哪一种希尔伯特空间、哪些算符应该被选择。因此，在实际情况下，必须选择相应的希尔伯特空间和算符来描写一个特定的量子系统。而对应原理则是做出这个选择的一个重要辅助工具。这个原理要求量子力学所做出的预言，在越来越大的系统中，逐渐近似古典理论的预言。这个大系统的极限，被称为「古典极限」或者「对应极限」。因此可以使用启发法的手段，来建立一个量子力学的模型，而这个模型的极限，就是相应的古典物理学的模型。
[编辑] 与相对论的结合
量子力学在其发展初期，没有顾及到狭义相对论。比如说，在使用量子谐振子模型的时候，特别使用了一个非相对论的谐振子。
早期的将量子力学与狭义相对论联系到一起的试图，包括使用相应的克莱因-戈登方程式，或者狄拉克方程式，来取代薛丁格方程式。这些方程式虽然在描写许多现象时已经很成功，但它们还有缺陷，尤其是它们无法描写相对论状态下，粒子的产生和消灭。通过量子场论的发展产生了真正的相对论量子理论。量子场论不但将可观察量如能量或者动量量子化了，而且将媒介交互作用的场量子化了。第一个完整的量子场论是量子电动力学，它可以完整地描写电磁交互作用。
一般在描写电磁系统时，不需要完整的量子场论。一个比较简单的模型，是将带电荷的粒子，当作一个处於古典电磁场中的量子力学物体。这个手段从量子力学的一开始，就已经被使用了。比如说，氢原子的电子状态，可以近似地使用古典的 1 / r 电压场来计算。但是，在电磁场中的量子起伏起一个重要作用的情况下，（比如带电粒子发射一颗光子）这个近似方法就失效了。
[编辑] 强交互作用和弱交互作用
强交互作用的量子场论是量子色动力学，这个理论描述原子核所组成的粒子（夸克和胶子）之间的交互作用。弱交互作用与电磁交互作用结合在电弱交互作用中。
[编辑] 万有引力
至今为止，仅仅万有引力无法使用量子力学来描述。因此，在黑洞附近，或者将整个宇宙作为整体来看的话，量子力学可能遇到了其适用边界。目前使用量子力学，或者使用广义相对论，均无法解释，一个粒子到达黑洞的奇点时的物理状况。广义相对论预言，该粒子会被压缩到密度无限大；而量子力学则预言，由於粒子的位置无法被确定，因此，它无法达到密度无限大，而可以逃离黑洞。因此 20 世纪最重要的两个新的物理理论，量子力学和广义相对论互相矛盾。
寻求解决这个矛盾的答案，是目前理论物理学的一个重要目标（量子重力）。但是至今为止，找到重力的量子理论的问题，显然非常困难。虽然，一些亚古典的近似理论有所成就，比如对霍金辐射的预言，但是至今为止，无法找到一个整体的量子重力的理论。目前，这个方面的研究包括弦理论等。


解释和哲学观点
量子力学可以算作是被验证的最严密的物理理论之一了。至今为止，所有的实验数据均无法推翻量子力学。大多数物理学家认为，它「几乎」在所有情况下，正确地描写能量和物质的物理性质。虽然如此，量子力学中，依然存在著概念上的弱点和缺陷，除上述的万有引力的量子理论的缺乏外，至今为止对量子力学的解释存在著争议。
[编辑] 解释
假如，量子力学的数学模型，是它的适用范围内的完整的物理现象的描写的话，那麼，我们发现测量过程中，每次测量结果的机率性的意义，与古典统计理论中的机率，意义不同。即使完全相同的系统的测量值，也会是随机的。这与古典的统计力学中的机率结果不一样。在古典的统计力学中，测量结果的不同，是由於实验者无法完全复制一个系统，而不是因为测量仪器无法精确地进行测量。在量子力学的标准解释中，测量的随机性是基本性的，是由量子力学的理论基础获得的。由於量子力学尽管无法预言单一实验的结果，依然是一个完整的自然的描写，使得人们不得不得出以下结论：世界上不存在通过单一测量可以获得的客观的系统特性。一个量子力学状态的客观特性，只有在描写其整组实验所体现出的统计分布中，才能获得。
爱因斯坦（「量子力学不完整」，「上帝不掷骰子」）与尼尔斯·波耳是最早对这个问题进行争论的。波耳维护不确定原理和互补原理。在多年的、激烈的讨论中，爱因斯坦不得不接受不确定原理，而波耳则削弱了他的互补原理，这最后导致了今天的哥本哈根诠释。
今天，大多数物理学家，接受了量子力学描述所有一个系统可知的特性，以及测量过程无法改善，不是因为我们的技术问题所导致的的见解。这个解释的一个结果是，测量过程打扰薛丁格方程式，使得一个系统塌缩到它的本徵态。除哥本哈根诠释外，还有人提出过一些其它解释方式。其中比较有影响的有：
戴维·玻姆提出了一个不局部的，带有隐变数的理论（隐变数理论）。在这个解释中，波函数被理解为粒子的一个引波。从结果上，这个理论预言的实验结果，与非相对论哥本哈根诠释的预言完全一样，因此，使用实验手段无法鉴别这两个解释。虽然，这个理论的预言是决定性的，但是，由於不确定原理无法推测出隐变数的精确状态。其结果是与哥本哈根诠释一样，使用这来解释实验的结果，也是一个机率性的结果。至今为止，还不能确定这个解释，是否能够扩展到相对论量子力学上去。路易·德布罗意和其他人也提出过类似的隐藏系数解释。
休·艾弗雷特三世提出的多世界诠释认为，所有量子理论所做出的可能性的预言，全部同时实现，这些现实成为互相之间一般无关的平行宇宙。在这个诠释中，总的波函数不塌缩，它的发展是决定性的。但是由於我们作为观察者，无法同时在所有的平行宇宙中存在，因此，我们只观察到在我们的宇宙中的测量值，而在其它宇宙中的平行，我们则观察到他们的宇宙中的测量值。这个诠释不需要对测量的特殊的对待。薛丁格方程式在这个理论中所描写的也是所有平行宇宙的总和。
另一个解释方向是将古典逻辑改成一个量子逻辑来排除解释的困难。
以下列举了对量子力学的解释，最重要的实验和思想实验：
爱因斯坦-波多斯基-罗森悖论以及相关的贝尔不等式，明显地显示了，量子力学理论无法使用「局部」隐变数来解释；但是，不排除非局部隐藏系数的可能性。
双狭缝实验是一个非常重要的量子力学试验，从这个试验中，也可以看到量子力学的测量问题和解释的困难性，这是最简单而明显地显示波粒二象性的试验了。
薛丁格的猫
[编辑] 哲学问题
量子力学的许多解释，涉及到一般的哲学问题，这些问题又涉及到本体论、认识论和科学哲学的基本概念和理论。以下为一些这些问题：
决定论：自然是偶然的还是自然规律是严格决定性的？
局部性/可分离性：所有的交互作用都是局部性的还是有远程交互作用？
因果
现实
完全性：存在一个万有理论吗？


量子缠结，又译量子纠缠，是一种量子力学现象，其定义上描述复合系统（具有两个以上的成员系统）中一类特殊的量子态，此量子态无法分解为成员系统各自量子态的张量积。
[编辑] 案例
具有量子缠结现象的各个成员系统，例如两颗以相反方向、同样速率等速运动的电子为例，即使一颗行至太阳边，一颗行至冥王星边，如此遥远的距离下，它们仍保有特别的关联性（correlation）；亦即当其中一颗**作（例如量子测量）而状态发生变化，另一颗也会「即刻」发生相应的状态变化。如此现象导致了「鬼魅似的远距作用」（spooky action-at-a-distance）之猜疑，彷佛两颗电子拥有超光速的秘密通信一般，似与狭义相对论中所谓的局域性相违背。这也是当初阿尔伯特·爱因斯坦与同僚玻理斯·波多斯基、纳森·罗森於1935年提出以其姓氏字首为名的爱波罗悖论来质疑量子力学完备性的理由。
上面具有量子缠结的两颗电子——电子1和电子2，其自旋性质之缠结态可以下面式子为例：
无法写成，即两个量子态的张量积。 下标1和2表示这是电子1和电子2的量子态，我们采取表示自旋的z方向分量向上，表示自旋的z方向分量向下。
太阳边的科学家决定对电子1做「投影式量子测量」（projective measurement），其测到的随机性结果不是就是。当其测量结果显示为状态，则冥王星的科学家在此之后，或很近、或较远的时间点对电子2做测量，必定会测到的状态。因为投影式量子测量已经将原先量子态选择性地缩并到，也可写成或。我们可以从电子1状态是知道选择到这一边。
注意到：已经是两个成员系统各自量子态的张量积，所以测量后状态已非缠结态


量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法於量子力学。当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试著将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统。基本的点子是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量裏，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，我们可以进而研究比较复杂的量子系统。
微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。不含时微扰理论的微扰哈密顿量不相依於时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量相依於时间，详见含时微扰理论。本篇文章只讲述不含时微扰理论。此后凡提到微扰理论，皆指不含时微扰理论。


微扰理论应用
微扰理论是量子力学的一个重要的工具。因为，物理学家发觉，甚至对於中等复杂度的哈密顿量，也很难找到其薛丁格方程式的精确解。我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与盒中粒子。这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。应用微扰理论，我们可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。例如，通过添加一个微扰的电位於氢原子的哈密顿量，我们可以计算在电场的作用下，氢原子谱线产生的微小偏移（参阅斯塔克效应）。
应用微扰理论而得到的解答并不是精确解，但是，这方法可以计算出相当准确的解答。假若我们使展开的参数   变得非常的小，得到的解答会很准确。通常，解答是用有限数目的项目的   的幂级数来表达。
[编辑] 历史
薛丁格在创立了奠定基石的量子波力学理论后，经过短短一段时间，於 1926 年，他又在另一篇论文裏，发表了微扰理论[1]。在这篇论文裏，薛丁格提到瑞立勋爵先前的研究[2]。瑞立勋爵曾经在弦的谐振动的微扰研究，得到突破性的结果。现今，微扰理论时常又被称为瑞立-薛丁格微扰理论。