△ABC和△DEF的透视中心在⊙(ABC)上，DE,DF分别关于AB,AC的对称直线交于G，类似定义H和I， （1）求证：△ABC和△GHI的透视中心在⊙(ABC)上 （2）求证：⊙(ABC)与⊙(DEF)的夹角=⊙(ABC)与⊙(GHI)的夹角 （注：（1）原题为D,E,F三点共线且该直线与圆相切的情形（lz会做） （2）这里两圆夹角定义为：若两圆相离，则定义为不存在，此时也可以写夹角相等的等式；若两圆相切，则定义为0；若两圆相交，则定义为在一个交点处作两圆切线的夹角）

原题由 @不会畫畫的梵高 给出，对应截线为Euler线，P=X_2，并且要证明共点是P_AP_BP_C的陪位重心（对任意过X_2直线也成立），下面给出推广： 给定ABC，截线DEF，P在DEF上，PX_4的逆Steiner点Q，PX_4关于BC反射交AP于K_A，类似定义K_B，K_C，P关于AEF反形为P_A，类似定义P_B，P_C，AQK_A和P_AP_BP_C第二交点为L_A，类似定义L_B，L_C，则PX_3，P_AL_A，P_BL_B，P_CL_C共点。 这个结构里还有些性质，但我还没推广完，后边再发qwq

给定两个圆Ω和Γ及Ω上动点A，m为不小于2的正整数（以m=5为例）. 以A为起点作折线AB_1B_2……B_m和AC_1C_2……C_m，使得折线的每条边均内接于Ω且外切于Γ. 设B_{m-1}B_m交C_{m-1}C_m于D，AD交B_mC_m于B. 证明：A运动时B在定圆上运动.

指出了8737中透视中心的具体刻画以及2015 USATST P6中透视中心的刻画 其实几个月前就搞出来了但一直没发

如图

吧里有资源版却没有资源，我来分享一下这些年收集的电子资源吧。本人水平下降严重加上兴趣向组合转移，这些东西有生之年应该是看不完了。 1. 100题没啥好说的，传播度比较广了； 2. 几何文章主要是NS和中数上的，中数是白嫖的高校资源，高中生应该是不太容易弄到； 3. 几何杂志其中FG和JCG已经停刊，应该（？）是全收录，IJG专门筛选出了平几和几何不等式的文章，已更新到2024最新内容； 4. 剩下就是各种中英文书，知名的不知名的都有，很多我

如图

怎么证

正七边形边长等于2，黄色面积等于10，求黄色左下角度。 网上看到的，发现自己算不出来，故求助。

这是我昨天做一道题后，对自己很久以前出的一道题的大量推广。变的有点复杂 还有，因为CMO将近，而且CMO结束后我就退役了，所以可能将会很长时间地退出本吧 所以，这个题目作为对冬令营的祝愿和对吧友的告别

1、推广1(小变形)：如图所示，E是动点，ABCD和圆固定，证明圆MFN与两个定圆相切。 2、推广2(大变形)：如图所示，A是动点，MNCD和圆固定，证明圆EFG与两个定圆相切。 原题供题者：一看就知道是谁 推广背景：2L证明的修改 第三个图是在下对原题的证明 2L的证明是想因此问问命题思路

折磨人的公切线（圆）问题，如图

来自数之谜

这道题我已经做出来了，好奇是哪个比赛的题，希望大佬指明一个出处

四边形A1A2A3A4中 PQ为一对等角共轭点,Q12为Q关于三角形PA1A2的等角共轭点,类似定义Q23Q34Q14.求证：Q12Q23Q34Q14共圆

本专题将会从三次曲线的一个纯几何定义开始，用完全纯几何的方法建立三次曲线的几何体系，包括但不限于Cayley-Bacharach定理

先自个儿视频图开端

建系巨快

强专p84，感觉做麻烦了

A、B、I是定点，C在过A、B的圆上，BC、AC交一定直线于D、E，圆IDE再次交BC、AC于X、Y，求证：XY与某个定圆相切 这是一个自由度多到逆天的题目，自认为结论也挺简洁漂亮，还望吧友评价

如图，△A'B'C'与△ABC位似且共用欧拉线，设位似比为μ，前者外心为O'，后者垂心为H，证明： (1)对于一个给定的μ≠1，将存在△A'B'C'使得⊙(AO'A')、⊙(BO'B')、⊙(CO'C')、⊙(ABC)共点 (2)当H与O'重合时，则对任何的μ，⊙(AHA')、⊙(BHB')、⊙(CHC')共轴

O是完全四边形ADBECF的内心，G为其密克点，角DGF的平分线交CD于H，类似定义IJK，求证：如果过她们分别作所在边的垂线，这些垂线围成了一个完全四边形，则O是她的内心 有几个推广，但是为了使得此题变难，等有人回帖的时候再发也不迟

本专题非常简要地介绍一下笛沙格对合定理，由于本专题主要面对的是真·萌新，所以难度可能会很低，各位吧友可能会觉得本专题很无聊，还请大家多多包涵。也欢迎大家在帖子下面提出一些好的见解或是补充一些与笛沙格对合定理相关的习题

如图，平面内有一定锥线Γ、定直线f和定点D. Γ上一定点A的切线l上有一定点E. Γ上一动点R的切线交l于K，KD交f于P，AP再次交Γ于Y，RY交AD于Z，ZE与AP交于M. 求证：M的轨迹为一条直线.

无数的人问过我几何怎么学，那么几何怎么学呢？

拓展定义等角。若不全相等的四条直线l1，l2，l3，l4过同一点，且存在一种排列l1＇，l2’，l3＇，l4＇，使得有向角（l1’，l2＇）等于有向角（l3＇，l4＇），则称l1，l2，l3，l4等角。 现有五个互不相等的点ABCDE，使得其中任意一个点与其余四点所构成的直线等角。 求证：存在P，Q，R，T∈｛A，B，C，D，E｝，使得PQ⊥RT。

本专题介绍“过三角形的两个顶点，且与内切圆相切的圆”这个结构，此圆称为“伪外接圆”。 . 吧里时常有一些伪外接圆的题出现，但却一直没有一个系统的介绍，所以我打算写个专题简单介绍一下这个结构。 . 由于楼主水平有限，不可能面面俱到，请吧友见谅。另，对于许多吧友来说，本专题的内容应该都是显然的，也请谅解。 . ps：在我读高中的时候其实就有研究过这个结构，并且发表了我人生中的第一篇论文。最近有些忙，帖子更新可能会比

自己乱捣鼓出来的结论，有无深刻背景。AD和BC是圆O的两条垂直的弦，A，D的切线交于Q，类似定义P，则ABCDPQO七点共圆锥曲线。 当然用帕斯卡定理的逆定理是容易证明的

D是BC上一个动点，I1、I2为△ABD、△ACD的内心，A在I1I2上的射影是I，证明：I在一个定圆上

移动D，固定E，证明G的轨迹是直线

固定D，移动E，EJ∥AC，证明JE/AC是定值 （即：红圆过定点）

现在放学的时间真是太变态了，我只能现在发了

G为EF中点，以EF为直径的圆与圆（ABCD）交于H，I，求证GH，GI与圆（ABCD）相切

挺可爱的结论，但不知道为什么感觉挺眼熟，陈请指出

欢迎大家尝试