下面是Kohn（克赫）曲线�

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谢宾斯奇 (W.Sierpinski,1882-1969)构造了谢氏曲线、地毯、海绵�

皮亚诺（peano）曲�

关于分形 
 
 分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征的当代。分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响 
 
分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。即使您不懂得其中深奥的数学哲理，也会为之感动 
 
分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作，分形搭起了科学与艺术的桥梁 
 
“分形艺术”与普通“电脑绘画”不同。普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底。而“分形艺术”是纯数学产物，创作者要有很深的数学功底，此外还要有熟练的编程技能 
 
 
 我认为这些分形图像有如下用途 
 
 1、工业图案素材
2、制作成各种尺寸的精美装饰画（最好用卡纸装裱），用高科技艺术点缀人们的现代生活环境
3、分形时装肯定新奇
4、应用于印染行业，大有作为
5、用作包装材料图案，效果新颖，能卖个好价钱
6、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡、书签
7、装点科技馆、少年宫、旅游景点等，美化公众环境 
 
 我们的愿望 
 
 希望人们喜欢我们的分形艺术
希望人们接受现代的科技、艺术相融合这一现实
希望人们对这个奇妙的世界有所了解
谢谢

很有趣啊
有时间一定学�

分形，更加令人神往的天地
任景业

我们知道，点是0维的，线是1维的，面是2维的，体是3维的 。这里的0，1，2，3都是自然数。自然数是无穷的，还有4，5，6，…。数，除了自然数外，还有分数，无理数，…那么，相应的，更高维（4，5，6，…）的数学空间是什么样子？维数是分数时，是无理数时，又会是什么样子呢？数学总是在寻找隐藏在事物背后的联系和模式，这些维数之间又是靠什么为纽带联系在一起的呢？
诸多疑问的触发，是在我知道分形几何之后。
一、 分形的提出
1967年芒德勃罗（B.B.Mandelbort）在美国的《科学》杂志上发表了两页多一点的报告《英国海岸线有多长?统计自相似与分数维》，文章首次提出分数维和分形的概念，指出：蜿蜒曲折的一段海岸线，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，每一个大湾中都有小湾和小岬，那些小湾和小岬中又有更小的湾和岬；把这些湾和岬放大后会与原来的海岸线仍然相似。正由于海岸线使一个无穷嵌套的自相似结构，当你用一米的尺子沿海岸测量，可以得出一个近似的长度，但此时，你已经把小于一米的曲曲弯弯部分忽略掉了；如果改用一厘米的尺去量，一些小的曲折将被计入，得到的海岸线将会增长。随着测度标尺的变小，海岸线的长度会不断加长，永远不会收敛于一个极限数值；海岸线这个曲线得维数不是我们习惯的整数，从而提出了分数维的概念。

二、 自相似
某些事物局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有自相似的层次结构，这是分形几何学的基本思想。相似与自相似，我们并不陌生，生活中我们也有这方面的经验。
一棵树的树干分为两枝时，每一枝看上去都像一棵完整的树。这是形状上的相似。
把一块磁铁断开，断开的小磁铁仍然像整体一样具有相同的磁场，继续不断地分割下去，每一小部分都具有和整体磁铁相同的南北两极。这是物理性质上的自相似。
……
民间的歌谣和文学中的描述也不乏自相似的例子。
J.斯韦夫特(J.Swift1667～1745)的《格列佛游记》中就有一首打油诗： 
“博物学家看仔细，
大蚤身上小蚤栖；
更有微蚤叮小蚤，
递相啮噬无尽期。”
当然，这里的相似和自相似并不是数学中的严格概念，而是统计的或者说是近似的、并且只是在一定范围内的、广泛意义上的相似和自相似。
在数学中，如果一个几何图形的组成部分与图形整体之间有某种相似性，就称为 “自相似”。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。见图1。
 
实际上，数学界对分形现象的关注，由来已久。
1872年，康托（G.Cantor）曾构造了一个奇异的集合——康托集。如图2，将一线段三等分，取走中间的一段，保留两侧的两段；将留下的两段再三等分，并取走他们的中间一段，保留两侧的其余两段；照此继续。留下的线段会愈来愈多，而其长度则愈来愈短，最终就将线段分割成了长度为无限短的无穷多个点，这些点组成的集合就是三分康托点集。
 
1906年，数学家科赫(H.von Koch)提出了如何构造能够描述雪花的曲线，如图3。
 
1915年，波兰数学家希尔彬斯基（Sierpinski）构造了一批千疮百孔的平面与立体图形，人们分别称之为希尔彬斯基垫片、地毯及海绵等。
希尔彬斯基的垫片的构造方法如图4所示。
 
希尔彬斯基地毯和希尔彬斯基海绵的构造方法，如图5所示。我们不难想象他们的构造过程。
 
显然，上面这些图形都具有自相似性。正是对这些现实中和数学上自相似图形的研究，1977年芒德勃罗出版了《分形对象：形、机遇与维数》，1982年出版了《自然界的形几何学》，完整地给出了“分形”和“分数维”的概念，同时提出了分数维数的定义和算法。——数学的一个新的分支诞生了。
那么，什么是分数维数呢？

三、 分数维
我们先考虑几个最简单的几何图形。
取一个长度为单位长的线段，把它加倍，则加倍后的长度2，也就是21。


分形几何有重大误解：将折线与曲线混为一谈
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303  邮编510631）
    曲线（弧线）与折线是有根本区别的。若有人说正方形、☆及其它多边
（角）形闭折线（没有文献将这类图像称为闭曲线）是闭曲线，就一定会被
人们认为是缺乏起码数学常识而将曲线与折线混为一谈。弧上的任意两异点的连线（直线段）无论如何短都不能是弧的一部分，而折线就不具此性质。
[1][2]指出分形几何中的“柯赫雪花”是等边无穷多边（角）形，即是
闭折线而非闭曲线。不少编书者都有此清醒的认识，例如科普大师 约翰•葛
瑞本一眼看出：“...就会得到由无限小的V形棱角所构成的柯克曲线，[3]”
又例如“...，按上述方法生成的雪花呈多角形，... [4]”。
不少人（包括分形几何之父）不知道这一真相，反映其还未真正认识这
类图像的“庐山真面目”,对这类图像的认识有重大误解。
这就使人很自然地误以为“分形几何学上的V形棱角构成圆弧”
（http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=49158）。其实V形棱
角是绝对不能构成弧线的。同理，数学史上的“存在连续但没有切线的曲线”
是有类似的重大误解。
关键是[1][2][5]证明了 {1/3n }有末项。
参考文献
[1]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0 ——再论形如
{1，2，3，…，n，…}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
[2]黄小宁，百年集论确是“疾病”之理由——试议著名数学家庞加莱百
年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
[3]约翰•葛瑞本著，张宪润译，深奥的简洁[M]，湖南科技出版社，
2008.10：091。
[4]孙丽华、张魁元主编，工科数学基础（第2版）上册[M]，高等教育
出版社，2004.12：56. 
[5]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500
年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267.
电联:13178840497，
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