分形，更加令人神往的天地
任景业

我们知道，点是0维的，线是1维的，面是2维的，体是3维的 。这里的0，1，2，3都是自然数。自然数是无穷的，还有4，5，6，…。数，除了自然数外，还有分数，无理数，…那么，相应的，更高维（4，5，6，…）的数学空间是什么样子？维数是分数时，是无理数时，又会是什么样子呢？数学总是在寻找隐藏在事物背后的联系和模式，这些维数之间又是靠什么为纽带联系在一起的呢？
诸多疑问的触发，是在我知道分形几何之后。
一、 分形的提出
1967年芒德勃罗（B.B.Mandelbort）在美国的《科学》杂志上发表了两页多一点的报告《英国海岸线有多长?统计自相似与分数维》，文章首次提出分数维和分形的概念，指出：蜿蜒曲折的一段海岸线，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，每一个大湾中都有小湾和小岬，那些小湾和小岬中又有更小的湾和岬；把这些湾和岬放大后会与原来的海岸线仍然相似。正由于海岸线使一个无穷嵌套的自相似结构，当你用一米的尺子沿海岸测量，可以得出一个近似的长度，但此时，你已经把小于一米的曲曲弯弯部分忽略掉了；如果改用一厘米的尺去量，一些小的曲折将被计入，得到的海岸线将会增长。随着测度标尺的变小，海岸线的长度会不断加长，永远不会收敛于一个极限数值；海岸线这个曲线得维数不是我们习惯的整数，从而提出了分数维的概念。

二、 自相似
某些事物局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有自相似的层次结构，这是分形几何学的基本思想。相似与自相似，我们并不陌生，生活中我们也有这方面的经验。
一棵树的树干分为两枝时，每一枝看上去都像一棵完整的树。这是形状上的相似。
把一块磁铁断开，断开的小磁铁仍然像整体一样具有相同的磁场，继续不断地分割下去，每一小部分都具有和整体磁铁相同的南北两极。这是物理性质上的自相似。
……
民间的歌谣和文学中的描述也不乏自相似的例子。
J.斯韦夫特(J.Swift1667～1745)的《格列佛游记》中就有一首打油诗： 
“博物学家看仔细，
大蚤身上小蚤栖；
更有微蚤叮小蚤，
递相啮噬无尽期。”
当然，这里的相似和自相似并不是数学中的严格概念，而是统计的或者说是近似的、并且只是在一定范围内的、广泛意义上的相似和自相似。
在数学中，如果一个几何图形的组成部分与图形整体之间有某种相似性，就称为 “自相似”。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。见图1。
 
实际上，数学界对分形现象的关注，由来已久。
1872年，康托（G.Cantor）曾构造了一个奇异的集合——康托集。如图2，将一线段三等分，取走中间的一段，保留两侧的两段；将留下的两段再三等分，并取走他们的中间一段，保留两侧的其余两段；照此继续。留下的线段会愈来愈多，而其长度则愈来愈短，最终就将线段分割成了长度为无限短的无穷多个点，这些点组成的集合就是三分康托点集。
 
1906年，数学家科赫(H.von Koch)提出了如何构造能够描述雪花的曲线，如图3。
 
1915年，波兰数学家希尔彬斯基（Sierpinski）构造了一批千疮百孔的平面与立体图形，人们分别称之为希尔彬斯基垫片、地毯及海绵等。
希尔彬斯基的垫片的构造方法如图4所示。
 
希尔彬斯基地毯和希尔彬斯基海绵的构造方法，如图5所示。我们不难想象他们的构造过程。
 
显然，上面这些图形都具有自相似性。正是对这些现实中和数学上自相似图形的研究，1977年芒德勃罗出版了《分形对象：形、机遇与维数》，1982年出版了《自然界的形几何学》，完整地给出了“分形”和“分数维”的概念，同时提出了分数维数的定义和算法。——数学的一个新的分支诞生了。
那么，什么是分数维数呢？

三、 分数维
我们先考虑几个最简单的几何图形。
取一个长度为单位长的线段，把它加倍，则加倍后的长度2，也就是21。