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证（二）：延长B''O交A''C''于E。
根据对称性，AA'和C'C关于过B的直径对称，
∴OB''⊥且平分A'C。
设A'B'交BC于M。
同时类似（一）易得B、B'、A''、C''四点共圆，
∴MB：MB'=MC''：MA''
而本身A'、B、B'、C四点共圆，
∴MB：MB'=MA':MC
∴MC''：MA''=MA':MC，
∴A''C''‖A'C。
∴B''E⊥A''C''，即B''E是△A''B''C''的高。
同理可得C''D是△A''B''C''的高。
∴O是△A''B''C''的垂心，
就易得∠B''A''C''＝∠B''OD。
结合（1），
∴∠BAC＝∠B''A''C''，
同理∠ACB＝∠A''C''B''，
∴△A''B''C''∽△ABC，命题得证。
简证：先证明∠？=∠A.
一 因为AB=A1B1、BC=B1C1、CA=C1A1,所以，⌒AA1=⌒BB1=⌒CC1；
二 因为∠ABC=∠A1B1C1, 所以，B、B1、A2、C2四点共圆。这样，∠1=∠4=⌒A1B/2，
因为∠ACB=∠A1C1B1, 所以，A2、C、C1、B2四点共圆。这样, ∠2=∠5=⌒AC1/2.
另外还有，∠3=(⌒BB1+⌒CC1)/2=(⌒AA1+⌒CC1)/2
三这样，∠1+∠2+∠3=∠4+∠5+∠3=⌒A1B/2+⌒AC1/2+⌒AA1/2+⌒CC1/2=⌒BA1AC1C/2
=∠ABC+∠ACB,
所以，∠?=180-∠1-∠2-∠3=180-∠ABC-∠ACB=∠A.
同理可证∠A2B2C2=∠ABC.
这就证明了△A2B2C2∽△ABC.
