问个关于代数数的问题

这些都是我猜的
我猜想cos(q*pi)当q是有理数时就是代数数，因为cos(nx)都可以表示成cosx的一元高次多项式的形式。还有高斯不是证明了正n边形可以尺规做出当仅当n是费马素数是不是就是表示
cos(pi/p)当仅当p是费马素数是可以用加减乘除开二次方表达出来

问下为什么命题1是对的
比方说 2^1/2+3^1/3是哪个方程的根

x= 2^1/2+3^1/3
x-3^1/3=2^1/2
x^2-2*3^1/3x+3^2/3=2
如果LZ不要求在F[x]中，这个方程就如上了，，，

3^1/3和3^2/3都不是有理系数啊亲

cos(q*pi)当q是有理数时显然是代数数

我看书上说全体代数数构成域但是我连加法封闭都不会证 求指教

代数方程的解的**是代数数。关于代数方程的定义：任何可经过有限初等操作把系数化为整数的方程的**。
cos(qpi)是代数数。因为切比雪夫多项式或者其变形都是代数数，而
cos(qpi)都可以看做是切比雪夫多项式或其有限初等变形的解，所以为代数数。
而对于无理数的q，可以用无穷正交分解将它化为无穷个代数数分量的和，然后再研究其超越性。但我认为下面这个结论必然：不是每个无理数q，都能让
cos(qpi)超越。也就是说，存在无理数q,
cos(qpi)为代数数。
举个例子：若实数x满足cosx = 3/4,则x/pi 为有理数还是无理数？