终于翻到了原帖了，证明初中三角形全等的哪个，简单破之的人呢?【使命召唤吧】

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终于翻到了原帖了，证明初中三角形全等的哪个，简单破之的人呢?

已知DEF是正三角形，顶点位于三角形ABC的三条边上，且 AD = BE = CF。求证ABC也是正三角形。[注意！重要！] 不许用解析方法，要用纯几何方法。
喂。别去推度娘。也别推微博，自己做看看。。。吾表示陷入高中证明后出不来了有没有！！！！！！！

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IP属地:四川

1楼2012-11-30 23:54回复

注明：这是科学松鼠研究会fwjmath的答案。
首先，将小三角形BDE和CEF分别沿正三角形DEF中心旋转到B'D'E'和C'E''F'，使D'E'、E''F'与FD重合。
为了记号的对称性，同时记A点为A'。
B'D=BE=AD, C'D=CF=AD, 故A', B', C'在同一个圆心为D的圆上。
不失一般性，设角A'DF>=角B'DF>=角C'DF。
以下证明角A'FD<=角B'FD<=角C'FD。
当A'D>=DF时，F在圆D内，如图所示。

考虑圆上一点P。它从G到G'运动时，易知角PFD单调递减，故有角A'FD<=角B'FD<=角C'FD。
当A'D<=DF，F在圆D外，如图所示。

若角C'FD<角B'FD，则C'必在劣弧HG上，角DC'F+角DB'F>pi。但角DA'F+角DB'F+角DC'F=pi，矛盾。故角C'FD>=角B'FD。
同理，有角A'FD<=角B'FD<=角C'FD。
最后，我们将原图中角ADF、角BDE这样围绕同一个正三角形定点的两个角配对。容易知道配对的角的和是定值2pi/3。回到旋转后的图，知道顶点在D的三个角中最大的必定与顶点在F的三个角中最小的一个配对。但易知两个配对的角不能共有A'或B'或C'，故至少两个顶点重合，否则将导致矛盾。剩下的一个顶点，用同样的最值方法可知与重合的两个顶点也重合。故A'，B'，C'重合。角FA'D=角FB'D=角FC'D=pi/3。三角形ABC是等边三角形。

IP属地:四川

2楼2012-11-30 23:55

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