【因式分解】总结一点东西

因式分解的概念：把一个多项式分解为几个单项式或多项式的乘积的形式。
补充一下多项式中各项的顺序：按某个字母的次数对各项排序（常数项视为0次项）。如果从高到低就叫做降幂排列，反过来从低到高称为升幂排列。
如下面的式子：（一元式）

这里习惯上用降幂排序。
如果多项式含多个元，如a,b，可以先按a的次数对各项排序，如果a的次数相同再按b的次数排序。（有时也先按每项的总次数排列，再按a的次数排列）

补充一点，因式分解一般要给定数域，这里默认在有理数域上分解，即分解后各项系数应为有理数。
1.提公因式法
提公因式法初中讲的已经很详细了，提字母只要找最低次项就行了。简单说一下提系数的原则：
1）各项系数有分数，先把公分母提出来，使各项变为整数。

2）找到各项系数的最大公约数并提出来。

3）习惯上让最高次项系数为正。

以上可以合成一步进行：

使里面的式子变得比较整齐。

2.公式法
初中课本上提到的乘法公式有平方差公式和完全平方公式，因式分解一般要将它们反过来用。下面补充一些公式：

其中【±】号表示可以是加号，也可以是减号。一个式子里出现几个【±】号，表示它们同为加号，或同为减号，同一个式子里【±】号和【倒±】号符号相反。这样一个式子表示的是两个式子。
注意不要弄错加减号。

3.二次三项式的十字相乘法
此法主要应用在【分解因式法求解一元二次方程】中。为此，先研究两个一次式的乘积。

显然，如果一个二次三项式的系数满足下面的形式，就可以反过来把它分解为两个一次式。
通常把系数a,b,c,d写成如下形式：

左边两个数相乘ac是二次项系数，右边两个数相乘bd是常数项；
对角相乘，乘积相加是一次项系数ad+bc，也可以说是按中间的十字进行相乘，所以取名为十字相乘法；
由第一行、第二行可以写出两个一次因式ax+b,cx+d。

十字相乘实际应用于二次三项式时，一般系数都是常数（而且，通过提公因式化成了整数），这时先尝试将【二次项系数】和【常数项】分别分解为两个整数之积，再十字相乘验证是否等于【一次项系数】。
比如上面提到过的x^2-8x+12，可以这么写：

图中省略了十字相乘的计算过程。二次项系数1分解为1*1；常数项分解为(-2)*(-6)；十字相乘1*(-6)+1*(-2)=-8，等于一次项系数。再把第一行、第二行写成两个一次式，就搞定了。
注意，由于二次项系数一般化成正整数，分解时习惯上也分解为两个正整数乘积。
再看看二次项系数不为1的情况：分解2x^2-9x-5

2分解为1*2，-5分解为(-5)*1，十字相乘1*1+2*(-5)=-9，等于一次项系数，把两行分别写成一次式，分解成功。

十字相乘也适用于二元二次齐次多项式。（所谓齐次就是各项次数相同），比如说：

与刚才的例子基本类似，因此我不再示意十字相乘的草图。或者，我们用另一种思想（以第二式举例）

似乎将问题复杂化了，但是注意前三行是将一个【齐次式】化为了【非齐次式】，而我们的目的达到了：【减少了一个变元】。这是很重要的一种思想。
或者，作代换a=tb，避免出现分式，其实是一样的。
严格地说，要考虑b=0的情况，不过最后把b^2乘进去之后，这就无所谓了。
十字相乘在分解时有一定技巧性，经过练习，用十字相乘的速度是很快的。

4.分组分解法
分组分解法也是重要的因式分解方法，一般最常见的是4项，也有其它项数的。
分组分解法一般要用提公因式法、公式法，将各项分组，各组分解后恰好可以继续分解，这样整个式子就可以分解。
如下面的这个例子：

两种分组方法都可以。
下面的这两个例子都用到了公式法：

最后给几道分组分解的题，难度不按顺序（提示：带括号的先乘开）

有兴趣的可以在网上找更多的题目

分析一道公式法分解的题目：x^6-1

显然原式可以先用平方差，也可以用立方差，但结果有所不同。事实上x^4+x^2+1可以分解为x^2+x+1和x^2-x+1（利用乘法公式可以验证这一点），至于怎么分解，后面会提到。
借此补充一点：分解因式要彻底，如果因式中有多项式可以继续分解，就要继续分解直到不可再分。

5.二次三项式的配方法和求根法
这个简单带过，配方法过程与【解一元二次方程的配方法】类似，举个例子就明白了。

只要记好【一次项系数一半的平方】就好。适用于系数较大，不宜十字相乘（需分解较大整数）时。
配方法还可以用于其它形式的因式分解，后面再说。
求根法因式分解利用了如下结论：

其中x1,x2为【左边=0】方程的两根。证明用韦达定理，把右边展开。于是只要用求根公式算出二次方程的两根，就可以分解因式。前提条件是有实根（否则就只能在复数域内分解因式，这里不讨论）。
如果嫌求根公式麻烦，可以先算一下对应二次方程的判别式Δ。如果是一个完全平方数，则十字相乘一定可以成功。（当然，可以接着把两根求出来，随便你）

终于把我那本初二竞赛书上所谓“初中教材介绍的”过了一遍，剩下的准备放寒假再写。

早知道会沉。。接着发，防烂尾

因式分解最常用的换元是所谓“平均值换元”。设X,Y是两个代数式，则令

这样X=A+B,Y=A-B，得到的式子可以利用平方差、消项等手段化简。X,Y一般为原式中多次出现的式子。下面两个例子：
（1）(x^2+x+1)(x^2+x+3)-15；
（2）(x+5)^4+(x+3)^4-82。