抢个前排

【从0.99999……谈起】
这个等于1的循环小数提到过很多次了，并不是老生常谈，没得可说了。而是数学的魅力就在于此，任何一个小小的点，深挖下去，都有无穷无尽的秘密。
一些朋友在“证明”0.999……和1相等的时候，给出了这样解释。
∵0.3333…… =1/3
∴3×0.3333……=0.9999……=3×1/3=1
当然，这个问题算不上一个证明，但是是一个值得鼓励的思路，因为聪明的孩子想到了用已知的结论解决新的问题。
但是，这个解释依然不够“本质”。1/9=0.1111…… 显然比1/3更为基础。
1就是这么一个无比简单却又无比深刻的数字。
比如很多人知道“1”有这样的性质：
1^2=1
11^2=121
111^2=12321
1111^2=1234321
……
111 111 111^2=12345678987654321
这样的现象，在数学上称之为数字宝塔。

什么？你早就知道了？
你总是这样容易被满足，于是你根本发现不了更多的秘密。 别着急，你才刚刚上路，我们先换个话题。

【缺8数的秘密】
自然数的秘密，普及的最好的，大概就是“缺8数”了吧。 这个神奇的性质，是我国当代著名数学家也是科普教育家谈祥柏先生发现的。 向前辈致以深深的敬意。
拿起你的计算器~
012345679 仔细一看，这个数字非常有规律，但是少了一个数字“8”，因此被称为“缺8数”。
缺8数最基本的性质在于，如果这个数字乘以9的倍数，他会立刻变成“清一色”的样子。
012345679×9 =111 111 111
012345679×18=222 222 222
012345679×27=333 333 333
……
012345679×81=999 999 999
当然，缺8数如果乘以3的倍数，虽然没有呈现出清一色之美，但也会出现非常规律的周期性排列
012345679×3 =037 037 037
012345679×12=148 148 148
如果你有好奇心的话，你应该问我两个问题：
①为什么会这样？
②你这一段，和上一楼有什么关系？

【数字宝塔的破坏与再生】
我第一段提到若干个1的平方，会形成一个数字宝塔。 然而，这个宝塔的完美形态，只能再111 111 111 （9个1）以下得到保持，为12345678987654321
如果1的个数继续增加，宝塔将变的面目全非。
山重水复疑无路，柳暗花明又一村。 很多时候，如果做得极端一点，可能就会毛瑟顿开，大彻大悟。
【如果无穷个1组成的数字做平方，又会是什么样的光景？】
0.1111……=1/9
(0.1111……)^2=1/81
1/81=0.012345679 012345679 012345679 012345679……
看出来了么？“ 缺8数”012345679, 正是1/81这个循环小数的循环节！
现在你明白，为什么这个数字为什么和9这么亲了吗？

【无穷无尽的秘密】
已经发现，循环小数和数的整除性，质数的性质有着深刻的联系。我曾经用520和1314构造整除关系，看似都是天文数字，实际上我早已成竹在胸。 因为我用循环小数反推了数字的整除，不用计算我也知道一定除得净。

然而，我们继续来谈谈缺8数。 实际上研究数字很简单，手边的自然数，加减乘除，一个几十块钱的卡西欧计算器 即可。
012345679，研究完了乘法，不如研究研究加法。
0+1+2+3+4+5+6+7+9=37
37又是一个质数，看起来一点也不亲切，不过，请相信我，没有任何一个自然数，不是神奇的，只是你肉眼凡胎，看不懂它罢了。
①由缺8数各位数字之和得到的37，竟然是缺8数的一个因数，换言之，37能整除缺8数。
012345679÷37=333667
②单是整除也就算了，这个商也不简单，从中间一刀两端
333+667=1000
③还记得1/7的循环节，具有走马灯的性质么？ 我们不妨让却8数转一转，但不改变各个数字直接的顺序

③我们重新排列这串数字，让2打头，看看什么叫阴魂不散。
234567901÷37=6339673，6+3+3+9+6+7+3=37
345679012÷37=9342676， 9+3+4+2+6+7+6=37
456790123÷37=12345679，1+2+3+4+5+6+7+9=37 （缺8数又回来了~）
567901234÷37=15348682，1+5+3+4+8+6+8+2=37
679012345÷37=18351685，1+8+3+5+1+6+8+5=37
790123456÷37=21354688，2+1+3+5+4+6+8+8=37
901234567÷37=24357691，2+4+3+5+7+6+9+1=37
不用质疑了，这些东西都可以根据高斯的不朽著作《算数研究》里的数论基本原理，得到严格的证明。
虽然证明是必要的，但实际上最难能可贵的是拥有一双发现的眼睛。

【37的神秘咒语】
37是一个富有魔力的数字，但实际上，它的神奇之处远远不止于此。
37虽然是一个特立独行的质数，你似乎很难想象那些数字能被37整除。 但实际上，如果你有一个如下图所示的计算器，你立刻可以找到一大堆能被37整除的数字。

计算器上的怪圈：
在计算器上，1~9数字组成的九宫格中，随便一个数字开始，画一个仅有6个数字组成的圈，那么这串数字就是37的倍数。
你比如，从1开始逆时针画个圈圈，123654.（ 注意，计算器上3和6相邻，而不是3和4相邻）
123654÷37=3342
236541÷37=6393
365412÷37=9876
654123÷37=17679
541236÷37=14628
412365÷37=11145
最下面的6个数字，逆时针旋转排列，都是37的倍数。 其实，顺时针旋转排列也照样成立。
456321÷37=12333
563214÷37=15222
632145÷37=17085
321456÷37=8688
214563÷37=5799
145632÷37=3936
这才6个数字吧？ 实际上计算器能组成圈的数字多了
比如上面的6个数字：456987 不论从谁开始，顺时针，逆时针转，都是37的倍数。
比如左面的6个数字：147852 不论从谁开始，顺时针，逆时针，都是37的整数倍。
比如右面的6个数字：852369 不论从谁开始，顺时针，逆时针，都是37的整数倍。
还可以隔海向往呢！
比如最上面的3个数字和最下面的3个数字，123987，不论从谁开始，不论什么方向，都是37的整数倍。
比如最左面的3个数字和最右面的3个数字，147963，不论从谁开始，不论什么方向，都是37的整数倍。
【循环小数里的秘密】
为什么会这样？整除性与循环小数之间有着密切的联系。光一个循环小数，就足以吸引很多人倾一世情思了。
你虽然不一定能了解37为什么如此神奇，但是一看循环小数，立刻发现了37是个基佬。它在搞gay。
1/37=0.027 027 027 027……
1/27=0.037 037 037 037……
咦？缺8数012345679×3，等于什么来着？

【关于“缺8数”与37】
以上神奇的性质，都是谈祥柏先杀发现的。我一直视这位先杀为自己未曾谋面的导师，他的每一部著作我都看了好几遍。
深深被老人家对数学的热爱而打动，也对老先生对数字的敏锐洞察力佩服不已。

“缺8数”已经算是普及程度很高的趣味数学了，但实际上程度远远不够。比如你们可以百度百科一下“缺8数”，你会发现里面陈列的性质真不过是冰山一角。
实际上，数学历来都不缺少发现，而真正缺少的，是这些美妙发现的传播。无疑，这种神奇的感觉，很容易激发初学数学的人的兴趣。相比于枯燥乏味的三角，几何，代数，也许有趣的数字性质，更适合培养一个孩子对于数学的热情。
数字，的确是最美的数学。 它看似无比简单，却很可能蕴藏着这个世界最为深刻的道理。
不信？容我再举一个例子。

【黄金分割与斐波那契数列】
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……
我曾长期用112358作为游戏仓库的密码，或者什么东西的密码。
这个数列，就是大名鼎鼎的斐波那契数列。前两项都是1，之后每一项都等于前两项的和。
相邻两项之比，前一项比后一项，都是0.618的近似数。后一项与前一项的比值，等于1.618，恰好又是0.618的倒数。2/3,3/5,5/8,8/13,13/21… 无限趋近于黄金分割率。
斐波那契螺旋（黄金分割曲线）的画法，实际上非常简单，就是基于112358这个简单数列做的。

【黄金分割率的多种数学表述】


其实我个人非常喜欢最后两个算式。
体现了一种哲学思想：道生一，一生二，二生三，三生万物。

不过，如果就拿这些糊弄你们，怎么能体现出【自然数】的神奇呢？

【哥德巴赫猜想】与“a+b”和“1+b”的证明方法
哥达巴赫猜想是意义深远的，如果能把任意一个整数分解成3个质数之和，这无疑相当于宣告：整数的问题可以划归为0,1和质数的问题。
于是但凡研究数学的人，无疑不对这个未解难题垂涎三尺。 你包括我，最近阅读的材料都是王元，陈景润，华罗庚的关于这个猜想的研究成果。
当然我不说大话，只不过是作为一种兴趣爱好，了解一下这个问题罢了，你们不要想太多。万一哪天一不小心，对吧……
实际上,在中国广为流传的“1+2”和“1+1”，说的不过是哥德巴赫猜想的一种证明方法罢了。
这个猜想最大的难点在于，一般无穷的问题，我们只能用归纳法或者反证法解决。
但是质数的生成是没有递推规律的（或者更严格的说，是人类尚未发现质素之间的递推关系），导致归纳法用起来非常困难。
于是一些科学家尝试，能不能用逼近的方法接近哥德巴赫猜想？也就是先证明一些要求宽松的命题，从中探寻规律再利用这些规律证明猜想。 这实际上也符合人类解决问题的一般思路，由浅入深，由简单到复杂，由特殊到一般。
【“a+b”证明方法】
法国人提出来的，他提供了一种思路，我们可以先放宽要求，把问题改成：
任何一个大于2的偶数，都可以表示成【两个部分】的合
这两个部分，每一个部分都可以被表示为【有限个质数的乘积】，其中一个部分可以表示成a个质数的乘积，另一个部分可以表示为b个质数的乘积。
这个命题就被称为“a+b”命题，而哥德巴赫猜想，按照这个定义，实际上就是要证明大偶数可以被表示为“1+1”的形式。
注意：这个1+1的意思是，偶数可以表示为两个部分的和，每一个部分都是1个质数。这和“1+1=2”显然没有半毛线关系。
法国人率先证明了“9+9”，
即一个大偶数，都可以表示为两部分的和，每一个部分都可以表示为9个质数的成绩。
实际上，a+b两部分，都是合数。这和哥德巴赫猜想本质上完全不同。
随后，中国数学家在这个问题上取得重大突破，从9+9出发，连续减少a和b的数字。 王元院士在这个问题上攻城拔寨，一直把“9+9”减小为“1+3”。中国科学家证明用到的思路是“筛选法”，其实，到1+3，已经非常艰难了，当时普遍认为这个思路已经走投无路了。
1966年，王元先生的师弟，在中国尽人皆知的数学家陈景润先生，发表了论文《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》，震惊世界。 陈景润用非常巧妙的方法，证明了“1+2”。 看似一小步，实际上真的是困难重重，陈景润先生，已经把筛法用到淋漓尽致了，换句话说，筛选法，已经走山穷水尽了。
【一步之遥还是咫尺天涯？】
很多科普杂志或者媒体，经常说陈景润把哥德巴赫猜想证明的只有一步之遥。实际上这种说法非常不负责任。
哥德巴赫猜想：
任何一个大偶数，都可以表示为两个质数的和。 关键在于，它的落脚点是2个【质数】
“a+b”证法，本质上是研究2个【合数】的关系。
“1+b”证法，本质上是研究1个【质数】和1个【合数】的关系。
而“a+b”与“1+b”中的合数，要想划归为质数，何尝不是“哥德巴赫猜想”呢？
这种证明方法，无异于用“0.3333……=1/3”来证明“0.9999……=1”，你没有解释,0.3333……为什么等于1， 这个证明就是无效的。
“a+b”证法，终点就是“1+2”，这个方法永远到不了“1+1”。看似一步之遥，实则咫尺天涯。
就好像小孩子玩拼图，每次都只有最后一块放不上去，但这说明，你前面所有的努力，都是错误的。必须拆了重来。
并不是否认陈景润先生的功绩，陈先生的地位历史早有定论，拜读陈先生的著作，深感其治学严谨，思路活跃，特别是对筛法的使用，估计前无古人后无来者了。 而且陈景润证明的“1+2”，本身也是一个非常伟大的定理了。
我只是想说明：要想真的证明歌猜，必须找到完全创新的一个思路。 传统方法，都已经强弩之末，无力回天了。

7这个数字真的是非常的神奇，不过似乎只有懂它的人才能懂得它为什么如此的神奇。

你比如说，7虽然是个特立独行的质数，只能被1和它本身整除。
❤①：7包含在所有“吉利数字”之中
但如果把它作为除数，它竟然能整除掉所有的吉利数字。你比如666666，你比如888888，你比如686868，你比如668668，再比如886886. 这些数字竟然都是7的整数倍。
❤②：最独特的循环小数
1/7=0.142857 142857 142857……
大家可能对1/3=0.3333…… 1/9=0.1111……比较熟悉。并且基于此能能提出“0.9999……为什么等于1”这样的高端问题。
但显然，1/7的样子就有点吓人了。7是如此简单的一个数字，而它竟然拥有着6位循环节。但你也许不知道的是，这循环节里的6位数字，竟然隐藏着无数惊天的秘密。
142857是我的银行卡密码，你们怎么懂我的情怀呢。
★不可思议
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
看出什么了吗？多么的不可思议，不论乘以几，结果只不过是原来的6个数字颠倒顺序罢了。
★真的很不可思议
142857×7=999999
★这才是不可思议的事情
众所周知，5个点可以确定一个二次曲线。 就好像2点能确定一条直线，不共线的3点能确定一个圆一样。
6个点能在一个圆锥曲线上，是一种缘分；如果6个点竟然公椭圆，并且还存在3线共点，那就非常的不可思议了。
142857按照相邻关系，可以形成这样6个点。（1,4）（4,2）（2,8）（8，5）（5,7）（7,1） 之后就开始重复循环了。
这6个点竟然在一个椭圆上！ 而且存在三线共点的“巧合”

（注：这个事情不是我发现的，是偶然拜读彭翕成老师的文章学习到的）
❤③ 7与数学家的故事
很多数学家都和7这个数字有缘。
【高斯与“七等分圆难题”】
比如德国数学王子高斯，19岁时证明了争论2000多年的尺规作图难题“七等分圆是无法用尺规实现的”。 高斯实际上解决了所有圆的等分问题，比如虽然“七等分圆”不能实现，但是“十七等分圆”确实可以的。
这个证明是高斯的成名之作，他本人非常得意，生前希望在自己的墓碑上刻一个正十七边形。但高斯去世后，工匠认为这个正十七边形太丑了，因为它很像一个画的很蹩脚的圆，所以工匠把它改成了“正十七角星”刻在了高斯的墓碑上。

【欧拉与“哥尼斯堡的七座桥”】

这个问题讲过了，这里不再重复。29岁的欧拉，实际上一劳永逸的解决了“一笔画”问题，并由此开创了现代数学中炙手可热的《图论》分支。
【高斯的不朽著作《算术研究》，共有7个章节】 （我有这本书的英文版，如果你们谁兴趣浓厚，并且我认为你有能力读这本书，我可以借给你看。这真是本惊世之作）

【祖冲之用割圆术，把圆周率π计算到了小数点后的第七位】

【七巧板被誉为这个世界最神器的玩具，看着就7个部分，已经拼出2000多种图案了】


七巧板早在几百年前，已经能拼出千人千面的108种人物了。各种形态，能反映人物的性格与活动，非常神奇，所以什么样的玩具培养什么样智商的孩子。 现在的小孩都玩装帧精美价格不菲的“喜洋洋与灰太狼”拼图，难怪孩子越来越傻。
【你知道数学学术界最著名的著作共有几本？】 数学七大名著！
1 《从微分观点看拓扑》J.W.米尔诺
2 《 无穷小分析引论》 Introduction to analysis of the infinite 欧拉
3 《自然哲学之数学原理》 伊萨克.牛顿
4 《几何原本》 欧几里得
5 《数论报告》希尔伯特
6 《算术研究》高斯
7 《代数几何原理》哈里斯（Harris）

上图为欧拉的著作《无穷小分析引论》。关于欧拉，我赞美的太多了。
不如听一听另一位伟大的数学家，拿破仑的帝师，数学分析大师拉普拉斯对欧拉的评价
Read Euler, read Euler, he is the master of us all！ （读读欧拉，读读欧拉，他是我们所有人的老师！）

不信？你知道多面体的性质：
定点数+面数-棱数=2 是谁发现的吗？
牛顿一生算不出来的月球“跃动”问题，双目失明的欧拉心算几天就搞定了！
指数，三角函数，复数，自然对数的底数e，完全是在不同领域内单独定义的。本来各不相干，井水不犯河水，他们各自独立的发展了千百年。 可想而知，当欧拉写出这个公式的时候，当时的人们该有多么吃惊！

物理学家一直认为，万有引力，静电力，磁力在表达式上是如此的相似，以至于他们非常愿意相信这些场力本质上是一种力，于是有着寻找磁单极子的百年尝试，可惜一直缺乏有力的实验证据。
然而，欧拉发现的欧拉公式，实际上相当于把以前毫不相干的几个数学分支彻底的统一了起来，他在数学领域，实现了类似于物理学家们一直追求的梦想。
PS：
不过我并不建议你们读这几本书，大师的学术作品需要很深的功底才能接受，包括我，作为一个普通爱好者，只能粗浅的从这几本书中感受一下大师风范罢了。
这里面唯一有可能被初学者深刻理解的，就是《几何原本》了。不过如果你们想看数学书，我倒是可以推荐很多有趣的书给你。

许多爱上数学的人 会让人无法自拔。
　　 by:　风途 单车俱乐部
　　　　　　 --wind road bike club.

太牛了，@梦回藏宝海湾每次读完你的数学普及文章都深深地感觉到了自己的渺小

好吧，求教怎么@别人