【缺8数的秘密】
自然数的秘密，普及的最好的，大概就是“缺8数”了吧。 这个神奇的性质，是我国当代著名数学家也是科普教育家谈祥柏先生发现的。 向前辈致以深深的敬意。
拿起你的计算器~
012345679 仔细一看，这个数字非常有规律，但是少了一个数字“8”，因此被称为“缺8数”。
缺8数最基本的性质在于，如果这个数字乘以9的倍数，他会立刻变成“清一色”的样子。
012345679×9 =111 111 111
012345679×18=222 222 222
012345679×27=333 333 333
……
012345679×81=999 999 999
当然，缺8数如果乘以3的倍数，虽然没有呈现出清一色之美，但也会出现非常规律的周期性排列
012345679×3 =037 037 037
012345679×12=148 148 148
如果你有好奇心的话，你应该问我两个问题：
①为什么会这样？
②你这一段，和上一楼有什么关系？

【数字宝塔的破坏与再生】
我第一段提到若干个1的平方，会形成一个数字宝塔。 然而，这个宝塔的完美形态，只能再111 111 111 （9个1）以下得到保持，为12345678987654321
如果1的个数继续增加，宝塔将变的面目全非。
山重水复疑无路，柳暗花明又一村。 很多时候，如果做得极端一点，可能就会毛瑟顿开，大彻大悟。
【如果无穷个1组成的数字做平方，又会是什么样的光景？】
0.1111……=1/9
(0.1111……)^2=1/81
1/81=0.012345679 012345679 012345679 012345679……
看出来了么？“ 缺8数”012345679, 正是1/81这个循环小数的循环节！
现在你明白，为什么这个数字为什么和9这么亲了吗？

【无穷无尽的秘密】
已经发现，循环小数和数的整除性，质数的性质有着深刻的联系。我曾经用520和1314构造整除关系，看似都是天文数字，实际上我早已成竹在胸。 因为我用循环小数反推了数字的整除，不用计算我也知道一定除得净。

然而，我们继续来谈谈缺8数。 实际上研究数字很简单，手边的自然数，加减乘除，一个几十块钱的卡西欧计算器 即可。
012345679，研究完了乘法，不如研究研究加法。
0+1+2+3+4+5+6+7+9=37
37又是一个质数，看起来一点也不亲切，不过，请相信我，没有任何一个自然数，不是神奇的，只是你肉眼凡胎，看不懂它罢了。
①由缺8数各位数字之和得到的37，竟然是缺8数的一个因数，换言之，37能整除缺8数。
012345679÷37=333667
②单是整除也就算了，这个商也不简单，从中间一刀两端
333+667=1000
③还记得1/7的循环节，具有走马灯的性质么？ 我们不妨让却8数转一转，但不改变各个数字直接的顺序

③我们重新排列这串数字，让2打头，看看什么叫阴魂不散。
234567901÷37=6339673，6+3+3+9+6+7+3=37
345679012÷37=9342676， 9+3+4+2+6+7+6=37
456790123÷37=12345679，1+2+3+4+5+6+7+9=37 （缺8数又回来了~）
567901234÷37=15348682，1+5+3+4+8+6+8+2=37
679012345÷37=18351685，1+8+3+5+1+6+8+5=37
790123456÷37=21354688，2+1+3+5+4+6+8+8=37
901234567÷37=24357691，2+4+3+5+7+6+9+1=37
不用质疑了，这些东西都可以根据高斯的不朽著作《算数研究》里的数论基本原理，得到严格的证明。
虽然证明是必要的，但实际上最难能可贵的是拥有一双发现的眼睛。

【37的神秘咒语】
37是一个富有魔力的数字，但实际上，它的神奇之处远远不止于此。
37虽然是一个特立独行的质数，你似乎很难想象那些数字能被37整除。 但实际上，如果你有一个如下图所示的计算器，你立刻可以找到一大堆能被37整除的数字。

计算器上的怪圈：
在计算器上，1~9数字组成的九宫格中，随便一个数字开始，画一个仅有6个数字组成的圈，那么这串数字就是37的倍数。
你比如，从1开始逆时针画个圈圈，123654.（ 注意，计算器上3和6相邻，而不是3和4相邻）
123654÷37=3342
236541÷37=6393
365412÷37=9876
654123÷37=17679
541236÷37=14628
412365÷37=11145
最下面的6个数字，逆时针旋转排列，都是37的倍数。 其实，顺时针旋转排列也照样成立。
456321÷37=12333
563214÷37=15222
632145÷37=17085
321456÷37=8688
214563÷37=5799
145632÷37=3936
这才6个数字吧？ 实际上计算器能组成圈的数字多了
比如上面的6个数字：456987 不论从谁开始，顺时针，逆时针转，都是37的倍数。
比如左面的6个数字：147852 不论从谁开始，顺时针，逆时针，都是37的整数倍。
比如右面的6个数字：852369 不论从谁开始，顺时针，逆时针，都是37的整数倍。
还可以隔海向往呢！
比如最上面的3个数字和最下面的3个数字，123987，不论从谁开始，不论什么方向，都是37的整数倍。
比如最左面的3个数字和最右面的3个数字，147963，不论从谁开始，不论什么方向，都是37的整数倍。
【循环小数里的秘密】
为什么会这样？整除性与循环小数之间有着密切的联系。光一个循环小数，就足以吸引很多人倾一世情思了。
你虽然不一定能了解37为什么如此神奇，但是一看循环小数，立刻发现了37是个基佬。它在搞gay。
1/37=0.027 027 027 027……
1/27=0.037 037 037 037……
咦？缺8数012345679×3，等于什么来着？

【关于“缺8数”与37】
以上神奇的性质，都是谈祥柏先杀发现的。我一直视这位先杀为自己未曾谋面的导师，他的每一部著作我都看了好几遍。
深深被老人家对数学的热爱而打动，也对老先生对数字的敏锐洞察力佩服不已。

“缺8数”已经算是普及程度很高的趣味数学了，但实际上程度远远不够。比如你们可以百度百科一下“缺8数”，你会发现里面陈列的性质真不过是冰山一角。
实际上，数学历来都不缺少发现，而真正缺少的，是这些美妙发现的传播。无疑，这种神奇的感觉，很容易激发初学数学的人的兴趣。相比于枯燥乏味的三角，几何，代数，也许有趣的数字性质，更适合培养一个孩子对于数学的热情。
数字，的确是最美的数学。 它看似无比简单，却很可能蕴藏着这个世界最为深刻的道理。
不信？容我再举一个例子。

【黄金分割与斐波那契数列】
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……
我曾长期用112358作为游戏仓库的密码，或者什么东西的密码。
这个数列，就是大名鼎鼎的斐波那契数列。前两项都是1，之后每一项都等于前两项的和。
相邻两项之比，前一项比后一项，都是0.618的近似数。后一项与前一项的比值，等于1.618，恰好又是0.618的倒数。2/3,3/5,5/8,8/13,13/21… 无限趋近于黄金分割率。
斐波那契螺旋（黄金分割曲线）的画法，实际上非常简单，就是基于112358这个简单数列做的。

【黄金分割率的多种数学表述】


其实我个人非常喜欢最后两个算式。
体现了一种哲学思想：道生一，一生二，二生三，三生万物。

不过，如果就拿这些糊弄你们，怎么能体现出【自然数】的神奇呢？

【哥德巴赫猜想】与“a+b”和“1+b”的证明方法
哥达巴赫猜想是意义深远的，如果能把任意一个整数分解成3个质数之和，这无疑相当于宣告：整数的问题可以划归为0,1和质数的问题。
于是但凡研究数学的人，无疑不对这个未解难题垂涎三尺。 你包括我，最近阅读的材料都是王元，陈景润，华罗庚的关于这个猜想的研究成果。
当然我不说大话，只不过是作为一种兴趣爱好，了解一下这个问题罢了，你们不要想太多。万一哪天一不小心，对吧……
实际上,在中国广为流传的“1+2”和“1+1”，说的不过是哥德巴赫猜想的一种证明方法罢了。
这个猜想最大的难点在于，一般无穷的问题，我们只能用归纳法或者反证法解决。
但是质数的生成是没有递推规律的（或者更严格的说，是人类尚未发现质素之间的递推关系），导致归纳法用起来非常困难。
于是一些科学家尝试，能不能用逼近的方法接近哥德巴赫猜想？也就是先证明一些要求宽松的命题，从中探寻规律再利用这些规律证明猜想。 这实际上也符合人类解决问题的一般思路，由浅入深，由简单到复杂，由特殊到一般。
【“a+b”证明方法】
法国人提出来的，他提供了一种思路，我们可以先放宽要求，把问题改成：
任何一个大于2的偶数，都可以表示成【两个部分】的合
这两个部分，每一个部分都可以被表示为【有限个质数的乘积】，其中一个部分可以表示成a个质数的乘积，另一个部分可以表示为b个质数的乘积。
这个命题就被称为“a+b”命题，而哥德巴赫猜想，按照这个定义，实际上就是要证明大偶数可以被表示为“1+1”的形式。
注意：这个1+1的意思是，偶数可以表示为两个部分的和，每一个部分都是1个质数。这和“1+1=2”显然没有半毛线关系。
法国人率先证明了“9+9”，
即一个大偶数，都可以表示为两部分的和，每一个部分都可以表示为9个质数的成绩。
实际上，a+b两部分，都是合数。这和哥德巴赫猜想本质上完全不同。
随后，中国数学家在这个问题上取得重大突破，从9+9出发，连续减少a和b的数字。 王元院士在这个问题上攻城拔寨，一直把“9+9”减小为“1+3”。中国科学家证明用到的思路是“筛选法”，其实，到1+3，已经非常艰难了，当时普遍认为这个思路已经走投无路了。
1966年，王元先生的师弟，在中国尽人皆知的数学家陈景润先生，发表了论文《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》，震惊世界。 陈景润用非常巧妙的方法，证明了“1+2”。 看似一小步，实际上真的是困难重重，陈景润先生，已经把筛法用到淋漓尽致了，换句话说，筛选法，已经走山穷水尽了。
【一步之遥还是咫尺天涯？】
很多科普杂志或者媒体，经常说陈景润把哥德巴赫猜想证明的只有一步之遥。实际上这种说法非常不负责任。
哥德巴赫猜想：
任何一个大偶数，都可以表示为两个质数的和。 关键在于，它的落脚点是2个【质数】
“a+b”证法，本质上是研究2个【合数】的关系。
“1+b”证法，本质上是研究1个【质数】和1个【合数】的关系。
而“a+b”与“1+b”中的合数，要想划归为质数，何尝不是“哥德巴赫猜想”呢？
这种证明方法，无异于用“0.3333……=1/3”来证明“0.9999……=1”，你没有解释,0.3333……为什么等于1， 这个证明就是无效的。
“a+b”证法，终点就是“1+2”，这个方法永远到不了“1+1”。看似一步之遥，实则咫尺天涯。
就好像小孩子玩拼图，每次都只有最后一块放不上去，但这说明，你前面所有的努力，都是错误的。必须拆了重来。
并不是否认陈景润先生的功绩，陈先生的地位历史早有定论，拜读陈先生的著作，深感其治学严谨，思路活跃，特别是对筛法的使用，估计前无古人后无来者了。 而且陈景润证明的“1+2”，本身也是一个非常伟大的定理了。
我只是想说明：要想真的证明歌猜，必须找到完全创新的一个思路。 传统方法，都已经强弩之末，无力回天了。

7这个数字真的是非常的神奇，不过似乎只有懂它的人才能懂得它为什么如此的神奇。

你比如说，7虽然是个特立独行的质数，只能被1和它本身整除。
❤①：7包含在所有“吉利数字”之中
但如果把它作为除数，它竟然能整除掉所有的吉利数字。你比如666666，你比如888888，你比如686868，你比如668668，再比如886886. 这些数字竟然都是7的整数倍。
❤②：最独特的循环小数
1/7=0.142857 142857 142857……
大家可能对1/3=0.3333…… 1/9=0.1111……比较熟悉。并且基于此能能提出“0.9999……为什么等于1”这样的高端问题。
但显然，1/7的样子就有点吓人了。7是如此简单的一个数字，而它竟然拥有着6位循环节。但你也许不知道的是，这循环节里的6位数字，竟然隐藏着无数惊天的秘密。
142857是我的银行卡密码，你们怎么懂我的情怀呢。
★不可思议
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
看出什么了吗？多么的不可思议，不论乘以几，结果只不过是原来的6个数字颠倒顺序罢了。
★真的很不可思议
142857×7=999999
★这才是不可思议的事情
众所周知，5个点可以确定一个二次曲线。 就好像2点能确定一条直线，不共线的3点能确定一个圆一样。
6个点能在一个圆锥曲线上，是一种缘分；如果6个点竟然公椭圆，并且还存在3线共点，那就非常的不可思议了。
142857按照相邻关系，可以形成这样6个点。（1,4）（4,2）（2,8）（8，5）（5,7）（7,1） 之后就开始重复循环了。
这6个点竟然在一个椭圆上！ 而且存在三线共点的“巧合”

（注：这个事情不是我发现的，是偶然拜读彭翕成老师的文章学习到的）
❤③ 7与数学家的故事
很多数学家都和7这个数字有缘。
【高斯与“七等分圆难题”】
比如德国数学王子高斯，19岁时证明了争论2000多年的尺规作图难题“七等分圆是无法用尺规实现的”。 高斯实际上解决了所有圆的等分问题，比如虽然“七等分圆”不能实现，但是“十七等分圆”确实可以的。
这个证明是高斯的成名之作，他本人非常得意，生前希望在自己的墓碑上刻一个正十七边形。但高斯去世后，工匠认为这个正十七边形太丑了，因为它很像一个画的很蹩脚的圆，所以工匠把它改成了“正十七角星”刻在了高斯的墓碑上。

【欧拉与“哥尼斯堡的七座桥”】

这个问题讲过了，这里不再重复。29岁的欧拉，实际上一劳永逸的解决了“一笔画”问题，并由此开创了现代数学中炙手可热的《图论》分支。
【高斯的不朽著作《算术研究》，共有7个章节】 （我有这本书的英文版，如果你们谁兴趣浓厚，并且我认为你有能力读这本书，我可以借给你看。这真是本惊世之作）

【祖冲之用割圆术，把圆周率π计算到了小数点后的第七位】

【七巧板被誉为这个世界最神器的玩具，看着就7个部分，已经拼出2000多种图案了】


七巧板早在几百年前，已经能拼出千人千面的108种人物了。各种形态，能反映人物的性格与活动，非常神奇，所以什么样的玩具培养什么样智商的孩子。 现在的小孩都玩装帧精美价格不菲的“喜洋洋与灰太狼”拼图，难怪孩子越来越傻。
【你知道数学学术界最著名的著作共有几本？】 数学七大名著！
1 《从微分观点看拓扑》J.W.米尔诺
2 《 无穷小分析引论》 Introduction to analysis of the infinite 欧拉
3 《自然哲学之数学原理》 伊萨克.牛顿
4 《几何原本》 欧几里得
5 《数论报告》希尔伯特
6 《算术研究》高斯
7 《代数几何原理》哈里斯（Harris）

上图为欧拉的著作《无穷小分析引论》。关于欧拉，我赞美的太多了。
不如听一听另一位伟大的数学家，拿破仑的帝师，数学分析大师拉普拉斯对欧拉的评价
Read Euler, read Euler, he is the master of us all！ （读读欧拉，读读欧拉，他是我们所有人的老师！）

不信？你知道多面体的性质：
定点数+面数-棱数=2 是谁发现的吗？
牛顿一生算不出来的月球“跃动”问题，双目失明的欧拉心算几天就搞定了！
指数，三角函数，复数，自然对数的底数e，完全是在不同领域内单独定义的。本来各不相干，井水不犯河水，他们各自独立的发展了千百年。 可想而知，当欧拉写出这个公式的时候，当时的人们该有多么吃惊！

物理学家一直认为，万有引力，静电力，磁力在表达式上是如此的相似，以至于他们非常愿意相信这些场力本质上是一种力，于是有着寻找磁单极子的百年尝试，可惜一直缺乏有力的实验证据。
然而，欧拉发现的欧拉公式，实际上相当于把以前毫不相干的几个数学分支彻底的统一了起来，他在数学领域，实现了类似于物理学家们一直追求的梦想。
PS：
不过我并不建议你们读这几本书，大师的学术作品需要很深的功底才能接受，包括我，作为一个普通爱好者，只能粗浅的从这几本书中感受一下大师风范罢了。
这里面唯一有可能被初学者深刻理解的，就是《几何原本》了。不过如果你们想看数学书，我倒是可以推荐很多有趣的书给你。