自主招生数学训练题一

自主招生数学训练题二（解析几何二）
1. 已知Q为椭圆C：16x²＋25y²＝400上异于顶点的任意一点，AB为长轴，点Q在AB上的投影为H。若以Q为中心，QH为短半轴且与椭圆C相似的椭圆D与椭圆C交于点E，F，证明：EF平分QH。
2. 已知椭圆C：x²＋3y²＝3的上顶点为A，不过A的直线l与椭圆C交于点P，Q，且AP⊥AQ，求ΔAPQ面积的最大值。
3. 设抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F，ΔABC的三边BC，CA，AB所在的直线与抛物线分别切于点P，Q，R，证明：A，B，C，F四点共圆。
4. 在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线C：x²＝2y的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过点M，F，O作⊙Q。
（1） 是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C切于M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。
（2） 若M的横坐标为√2，直线l：y＝kx＋1/4与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与⊙Q交于不同两点D，E，当1/2≤k≤2时，求|AB|²＋|DE|²的最小值。
5. 过点（2，3）作动直线l与椭圆x²＋4y²＝4交于两不同点P，Q，过P，Q作椭圆切线，两条切线交于点M。
（1） 求点M的轨迹方程。
（2） 设O为坐标原点，当四边形POQM面积为4时，求直线l的方程。
6. （1）设AB为椭圆中平行于长轴的一条弦，过AB的中点M作椭圆的两条弦CD和EF，连结DE和CF，分别交AB于点P，Q，求证|PM|＝|QM|。
（2）将（1）中的AB改为椭圆中的任意一条弦，该结论是否成立？证明你的结论。
7. 已知双曲线C：x²－4y²＝4，过点M（1，－1）的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，与x轴交于点N，设→MA＝λ→AN，→MB＝μ→BN，求（λ²＋μ²）／（λμ）的取值范围。
8. 已知F1，F2分别是中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的左右焦点，过F2的直线l与双曲线右支交于A，B两点，I1，I2为ΔAF1F2，ΔBF1F2内心，若双曲线C的离心率为2，| I1I2|＝9／2，直线l倾斜角的正弦值为8／9，求双曲线C的方程。
9. 已知椭圆b²x²＋a²y²＝a²b²（a＞b＞0）与其内切圆x²＋y²＝b²，该圆一条切线与椭圆交于A，B，且切线与AB与圆的切点Q在y轴右侧，F为椭圆的右焦点，求ΔABF的周长。
10. 一斜率为1／3的直线l与椭圆C：x²＋9y²＝36交于A，B两点，且P（3√2，√2）在直线l的左上方。
（1） 求证：ΔPAB的内切圆圆心在一条定直线上。
（2） 若∠APB＝60°，求ΔPAB的面积。
11. 已知双曲线C：b²x²－a²y²＝a²b²（a＞0，b＞0）离心率为√3，右准线方程为x＝1／√3，⊙O：x²＋y²＝2上的动点P（x0，y0）处的切线l与双曲线C交于不同的两点A，B，求∠AOB。
12. 对曲线C1：3（x²＋2y²）²＝2（x²＋4y²）上除原点外每一点P，求证：存在过P的直线与椭圆x²＋2y²＝2交于两点A，B，使ΔAOP，ΔBOP均为等腰三角形。