1991年，日裔意大利数学家藤田文章指出了折纸过程中的 6 种基本操作，也叫做折纸几何公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作：
1. 已知 A 、 B 两点，可以折出一条
经过 A 、 B 的折痕

2. 已知 A 、 B 两点，可以把点 A 折到点 B 上去

4. 已知点 A 和直线 a ，可以沿着一条过 A 点的折痕，把 a 折到自身上

5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，可以沿着一条过 B 点的折痕，把 A 折到 a上

容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。例如，操作 1 实际上相当于连接已知两点，操作 2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作 3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作4 则相当于过已知点作已知线的垂线。真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。
更有趣的是，操作 5 的解很可能不止一个。在大多数情况下，过一个点有两条能把点A 折到直线 a 上的折痕。

操作 6 则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多可以有三个解！

一组限定条件能同时产生三个解，这让操作 6 变得无比灵活，无比强大。利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作 6 有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程！
第七个折纸公理
10 年以后也就是 2001 年，事情又有了转折： 数学家羽鸟公士郎发现，上述的 6 个折纸公理并不是完整的。 他给出了折纸的第 7 个定理。从形式上看，第 7 公理与已有的公理如出一辙，并不出人意料，很难想象这个公理整整十年里竟然一直没被发现。继续阅读之前，大家不妨先自己想想，这个缺失的操作是什么。这段历史背景无疑让它成为了一个非常有趣的思考题。
补充的公理是：
7. 已知点 A 和 a 、 b 两直线，且a，b不平行，则可以沿着一条垂直于 b 的折痕，把 A 折到 a 上。

在 2003 年的一篇文章中，世界顶级折纸艺术家罗伯特•朗对这些公理进行了一番整理和分析，证明了这 7 条公理已经包含折纸几何中的全部操作了。
罗伯特•朗注意到，上述 7 项基本操作其实是由一些更基本的操作要素组合而成的，例如“把已知点折到已知线上”、“折痕经过已知点”等等。说得更贴切一些，这些更加基本的操作要素其实是对折痕的“限制条件”。在平面直角坐标系中，折痕完全由斜率和截距确定，它等价于一个包含两个变量的方程。不同的折叠要素对折痕的限制力是不同的，例如“把已知点折到已知点上”就同时要求 x1' = x2 并且 y1' = y2 ，可以建立出两个等量关系，一下子就把折痕的两个变量都限制住了。而“折痕经过已知点”则只能列出一个方程，只能确定一个变量（形式上通常表示为与另一个变量的关系），把折痕的活动范围限制在一个维度里。
不难总结出，基本的折叠限制要素共有 5 个：
(1) 把已知点折到已知点上，确定 2 个变量(2) 把已知点折到已知线上，确定 1 个变量(3) 把已知线折到已知线上，确定 2 个变量(4) 把已知线折到自身上，确定 1 个变量(5) 折痕经过已知点，确定 1 个变量
而折痕本身有 2 个待确定的变量，因此符合要求的折纸操作只有这么几种： (1) ， (2) + (2) ， (3) ， (4) + (4) ， (5) + (5) ， (2)+(4) ， (2) + (5) ， (4) + (5) 。但是，这里面有一种组合需要排除掉： (4) + (4) 。在绝大多数情况下， (4) + (4) 实际上都是不可能实现的。如果给出的两条直线不平行，我们无法折叠纸张使得它们都与自身重合，因为没有同时垂直于它们的直线。
另外 7 种则正好对应了前面 7 个公理，既无重合，又无遗漏。折纸几何至此便有了一套完整的公理。
尺规作图到底局限在哪里
相比于折纸的几何操作，尺规作图就显得有些不够“强大”了。不妨让我们先来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：
过已知两点作直线，给定圆心和圆周上一点作圆，寻找直线与直线的交点，寻找圆与直线的交点，寻找圆与圆的交点

这5项操作看上去变化多端，但前3项操作都是唯一解，后两项操作最多也只能产生两个解。从这个角度来看，尺规作图最多只能解决二次问题，加减乘除和不断开方就已经是尺规作图的极限了。能解决三次问题的折纸规则，势必比尺规作图更加强大。

利用勾股定理和相似三角形建立各线段长度的关系，我们不难证明它的正确性。强烈建议大家自己动笔算一算，来看看三次方程是如何产生的。