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导函数的连续性讨论

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昨天在贴吧和一位朋()友()关于导函数的连续性问题有一些争论,当时的情况已经发图说明。
大概就是这位朋()友()回复别人问题时说了“导函数处处不连续”,我纠正说“导函数最强也只是几乎处处不连续”。然后这位朋()友()就开始对我及后来的几位吧友各种没下限的胡搅蛮缠和无耻谩骂,以及各种地图炮。
同时,在网上翻阅确实没找到关于导函数连续性问题的东西。
特开一贴,分析导函数的连续性。顺便庆祝潜水多年终于签到到了九级。
另外,本人目前大一没有实变基础,如有舛误还望吧友指正。


IP属地:重庆1楼2014-05-31 11:29回复


    IP属地:重庆3楼2014-05-31 11:31
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      IP属地:重庆4楼2014-05-31 11:32
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        1.虽然和我们的主题没关系,但是还是提一句,我们说的东西不是原函数的连续性和可导性之间的关系,很多人看到导函数连续也直接就上Weierstrass函数,下面我们要说的,均为导函数的连续性问题。


        IP属地:重庆5楼2014-05-31 11:33
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          2.导函数的间断点
          导函数的是可以有间断点的,例子有很多但是这里不方便打就不说了。
          可以证明的是,导函数不存在第一类间断点和无穷间断点。
          但同时,导函数又满足Darboux定理。应该说是很弱的“连续”了


          IP属地:重庆6楼2014-05-31 11:38
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            3.导函数间断点的个数(本节例证来自《实分析中的反例》(汪林))
            既然导函数的间断点是存在的,那么就自然的有几个问题。
            一,是否一定是有穷
            二,如果无穷是否一定可数
            三,如果不可数,是否一定是零测的
            我们可以得到结论,导函数的间断点可以是正测度
            1.间断点为可数无穷的例子



            IP属地:重庆7楼2014-05-31 11:47
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              (2)间断点为不可数零测度的例子
              我就说构造方法和cantor集方法是类似的·,@人气爆照,如果现在还看不明白我也不知道说什么了。至少到现在为止我所说的概念都用到了。对你不懂“几乎处处”和集合与函数的关系,被人指正就到处乱喷的行为实在不知道该说什么。


              IP属地:重庆8楼2014-05-31 11:58
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                4.导函数的连续点
                导函数的连续点集一定是稠密的(这也是我用“最强也只是几乎处处不连续”来反驳@人气爆照所说的导函数可以处处不连续的理由),当时没有想太多,翻了几本实变的书,现在只能看到连续点的测度为任意小的情况,经吧友提醒,连续的测度不可能为零。
                但同时,这并不与我所说的“最强也只是几乎处处不连续”所矛盾,只不过我的结论可以继续修改上界罢了。


                IP属地:重庆11楼2014-05-31 12:08
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                  5.关于这件事
                  本来作为一个大一没有实变基础的学生,我不打算和@人气爆照来争什么的,无奈其嘴太不干净,只好翻了一些实变的书,当然,连续点稠密这一结论之前我也是知道的。
                  我来数吧也有一段日子了,虽然大部分时间在潜水,但是看到一些问题也会出来指正,能力不高但是也没干过什么出格的事情。无奈有些人……
                  还是庆祝一下终于到了九级~


                  IP属地:重庆12楼2014-05-31 12:12
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                    6.导函数处处不连续
                    这才是我们最开始的问题好么!我仅仅是反驳了这么一句话而已,“不存在导函数处处不连续的函数”和“导函数的不连续点几乎处处不连续”根本就是两个逻辑等价的命题好么,本来举例子就不应该归我管,你倒是举个导函数处处不连续的例子啊。


                    IP属地:重庆14楼2014-05-31 12:17
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                      7.导函数不可能处处不连续的证明
                      证明吧友已经给过了,这里重新说一下
                      记f_n(x)=n[f(x+1/n)-f(x)]
                      显然有f_n(x)是连续的,并且收敛于f‘(x),所以f’(x)的不连续点是第一纲集
                      (第一纲集:可数个无处稠密集的并集)
                      因此有f‘(x)的连续点是稠密的


                      IP属地:重庆16楼2014-05-31 12:30
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                        8.顺便给大家放一道相关的题目吧
                        已知f(x)可微,g在f的值域上有定义
                        且满足f'(x)=g[f(x)],
                        求证,f(x)是单调函数


                        IP属地:重庆17楼2014-05-31 12:32
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