摘 要
本文采用层次分析法系统分析了NBA2008-2009赛季赛程公平性问题，引入相对公平指数表示组合权重来衡量赛程对各个球队的利弊；同时，在分析同部不同区赛程安排问题时，引用了优化模型中的0-1规划模型，并以两支球队胜率差的绝对值作为权重，设计了新的比较科学的赛程方案。观点新颖，叙述得当，很好的解决了问题。
问题一，综合历年赛程与球队战绩，选取时间间隔指数、背靠背指数、连续客场指数和连续强队指数作为准则层因素，并对其进行量化（量化原则见问题分析）。之后利用层次分析法，分别求出各个因素对决策目标的权重和方案层对准则层的权重。同时，引入相对公平指数代替组合权重，便于将问题清晰化。
问题二，根据问题一求解进一步求出方案层对目标层的权重,并求出相对公平指数的列向量，各元素分别对应各支球队的相对公平平指数（见表3），从而得出火箭排第17名得分0.0332407，赛程情况中等略偏下。最有利的是活塞(0.020230225)、凯尔特人(0.0260017)等相对较强队；最不利的是魔术(0.0434265)、山猫(0.0402673)、雄鹿(0.0389019)等球队（其中魔术是因为连续客场指数高达58所致）。
问题三，在同部不同区的3、4场赛程分配上，根据NBA给出的赛程可知平均分配给两个同部不同的分区，然后随机抽取。借鉴问题一、二中的办法，利用0-1规划最优排列的方法，将各队胜率差值的绝对值作为权重计算出符合0-1分布的相对公平赛程分配（见表6、表7），从而最终解决问题。

关键词：层次分析法，相对公平指数，0-1规划，Mathematica，Lingo

1.符号说明
……………………………………………………表示准则层对目标层的判断矩阵
…………表示第支球队在赛季中第场比赛和第场比赛之间的休息天数
…………………………………………………………时间间隔指数的判断矩阵
……………………………………表示把的数据量化为0-1分布的结果
……………………………………………………………背靠背指数的判断矩阵
…………………………………………………………连续客场指数的判断矩阵
…………………………………………………………连续强队指数的判断矩阵
……………………………………………各支球队组合权重即相对公平指数排名
…………………………………各分区作0-1分布处理后的3、4场赛程分配矩阵
……………………………………………………………各分区胜率差值权重矩阵
…………………………………………………………………………一致性指标
……………………………………………………………………随机一致性指标
…………………………………………………………………一致性比率指标
………………………………………………………………………………最大特征值
…………………………………………………………………准则层对目标层的权重
…………………………………………………准则层时间间隔指数对目标层的权重
………………………………………………………准则层背靠背指数对目标层的权重
……………………………………………………准则层连续客场指数对目标层的权重
……………………………………………………准则层连续强队指数对目标层的权重
…………………………………………方案层对目标层的组合权重，即相对公平指数
A1，A2，……A5 …………………………………………………………总排名前5名球队
B1，B2，……B5 ………………………………………………………………名6-10名球队
C1，C2，……C5 ………………………………………………………总排名11-15名球队
D1，D2，……D5 ………………………………………………………总排名16-20名球队
E1，E2，……E5 ………………………………………………………总排名21-25名球队
F1，F2，……F5 ………………………………………………………总排名26-30名球队

1.模型假设
L1假设忽略两支球队历史交手战绩。
L2假设每天比赛的具体时间点对比赛影响很小，忽略不计。
L3假设球赛受到的球星效应、周末因素影响很小，忽略不计。
L4假设忽略一些不可控因素对赛程造成的影响，如当家球员受伤等。
L5当球队遭遇连续客场比赛时，假设连续两场以1为指数标准，连续三场时以2为指数
标准，并依此类推。
L6假设在NBA联盟各球队连续主场与主客场交叉是正常现象，不计入对球队的不利因
素，因此我们只考虑当球队遇到连续客场的情况，即连续客场作战的不公平程度。

4.1问题一
4.1.1 影响因素分析：
4.1.1.1 时间间隔分析：
2008年10月29日到2009年4月16日的新赛季1230场比赛中，每支球队要进行82场比赛，在如此短的时间进行这么多场比赛，不可避免的会遇到相邻两场比赛之间的休息时间问题。由于美国各地区时差的差异性较大，放入题中增加了太多不确定性因素，我们忽略每天比赛的具体时间点，只以比赛日作为分析标准。可以很容易得出一个所有球队每两场比赛之间时间间隔的81行30列矩阵（矩阵中数据都是正整数），其中元素表示第支球队在赛季中第场比赛和第场比赛之间的休息天数。
通常情况下，球员一场比赛后只要得到1天以上的休息时间即可基本恢复体力，为了简便起见，把所有大于等于1天的时间间隔全部化归为1，而0则保持不变。容易构造新的81行30列的时间间隔矩阵。
将矩阵各列累加，得到一个1行30列元素的行向量。不难看出，行向量的各个元素即表示对应球队所得到的休息指数，显然数值越大对该球队越有利（由于我们考虑的其它三个因素指数值与公平性是成反比的，所以在计算时以82减去所得指数，从而将时间间隔指数意义倒置）。例如凯尔特人的时间间隔指数原是66，高于大部分球队，说明对它来讲赛程是公平的，现在用时间间隔指数的满分82减去66得到16，则将原来的意义倒置。当某几个队所得数值相同时，可以通过分析其赛程中连续无休息日与连续客场的方法来判断，详见表3。

4.1.1.2 背靠背分析：
由于现实中，对背靠背的理解各不相同，我们取广义的背靠背意义，即连续两天或以上有比赛的情况。令背靠背指数等于各个球队遇到背靠背的场次数之和，例如一支球队遇到连续两天比赛20次，遇到连续3天比赛2次，则其背靠背指数为通过数据处理，得到各个球队背靠背指数汇总表，详见表3。

4.1.1.3 连续客场分析：
由于在NBA比赛中，各个球队常规赛主客场比赛数目均等，且连续主场与主客交叉是正常现象，不应计入对球队的不利因素，因此我们只考虑当球队遇到连续客场的情况，即连续客场作战的不公平程度。
于是，不妨定义：连续客场分析指数，当球队遭遇连续客场比赛时，连续两个客场以1为指数，连续三个客场以2为指数，依此类推。再将各队各种连续情况的发生次数乘以其对应的指数标准并将结果累加（例如，假设某球队遇到连续2个客场5次，连续3个客场2次，连续4个客场1次,连续5个客场1次，连续6个客场1次,则其连续客场指数为），从而得到各个球队的连续客场指数是31，各队详情见表3。

4.1.1.4 连续强队分析：
将30支球队按照战绩排名后划分为六个等级，分别以A、B、C、D、E、F表示（令各级球队内部实力基本相当）；每个等级五支球队，分别以A1、A2、A3、A4、A5、B1、B2、B3、B4、B5、C1、C2、C3、C4、C5、D1、D2、D3、D4、D5、E1、E2、E3、E4、E5、F1、F2、F3、F4、F5表示，具体如表1所示：

表1 球队代号分配
代号 球队 胜率 代号 球队 胜率
A1 凯尔特人 80.50% D1 猛龙 50%
A2 活塞 72% D2 76人 48.80%
A3 湖人 69.50% D3 国王 46.30%
A4 黄蜂 68.30% D4 老鹰 45.10%
A5 马刺 68.30% D5 步行者 43.90%
B1 火箭 67.10% E1 网 41.50%
B2 太阳 67.10% E2 公牛 40.20%
B3 爵士 65.90% E3 山猫 39%
B4 魔术 63.40% E4 雄鹿 31.70%
B5 小牛 62.20% E5 快船 28%
C1 掘金 61% F1 尼克斯 28%
C2 勇士 58.50% F2 灰熊 26.80%
C3 骑士 54.90% F3 森林狼 26.80%
C4 奇才 52.40% F4 超音速（雷霆） 24.40%
C5 开拓者 50% F5 热火 18.30%

我们定义：当一支C级球队连续遭遇B、C级对手时，从第二支球队开始，每个B级球队加1分，每个C级球队加2分。容易得到一组连续强队因素对各个球队的公平性影响指数。于是，不加证明的给出如下五点解释：
1) 当一支C级球队连续遇到同级球队时，竞争最激烈，其它级别类推。
2) 当一支C级球队连续遇到高一级球队时，存在胜利希望，但激烈程度小于1）。
3) 当一支C级球队连续遇到低于自己级别的球队时，比赛激烈程度低于1）、2）两
种情况，忽略不计。
4) 当一支C级球队连续遇到高于自己两级以上球队时，比赛激烈程度低于1）、2）、
两种情况，忽略不计。
5) 以上四项说明满足一般情况。
则，容易得出各个球队的连续强队指数，详见表3。

4.1.2 评价指标分析
在4.1.1中,已经给出了时间间隔指数、背靠背指数、连续客场指数和连续强队指数，这四个指数都可以作为衡量球队赛程公平性的指标。为了便于系统分析赛程，利用层次分析法，引入相对公平指数作为目标层，时间间隔指数、背靠背指数、连续客场指数和连续强队指数作为准则层，30支球队作为方案层，建立图1如下：

图1 层次结构图
显然，赛程安排对各个球队的利弊可以用相对公平指数来衡量。
4.2 问题二
在4.1中，我们引入了相对公平指数的概念，它综合了所考虑的时间间隔指数、背靠背指数、连续客场指数和连续强队指数四个因素。在此我们可以根据层次分析法中特征根法来确定准则层因素的权重，然后根据权重计算出相对公平指数并给30支球队进行排名，得解。
4.3 问题三：
在所提供的2008-2009赛季赛程安排中可以看出，每一支球队与自己同部不同区的其他10支球队赛6个4场和4个3场，并且是平均分配给两个分区的。这样的安排显然是不公平的，对有些球队，过早的频繁遭遇某支强劲球队无疑是对其极为不利的影响。于是，我们引入胜率差值作为权重来计算赛程对球队的公平程度，如表2所示：
表2 东南区-大西洋区
魔术 奇才 老鹰 山猫 热火
凯尔特人 0.171 0.281 0.354 0.415 0.622
猛龙 0.134 0.024 0.049 0.11 0.317
76人 0.146 0.036 0.037 0.098 0.305
网 0.219 0.122 0.025 0.025 0.232
尼克斯 0.354 0.244 0.171 0.11 0.097
表中数据即为对应两支球队2007-2008赛季的胜率差值的绝对值，通过Lingo可以轻松求出一种相对合理的同部不同区赛程安排结果，详见表3。