今天看到有坚持认为0.999999⋯<1的人，借助于“纯小数”这个东西，抛出来一个所谓的证据。他先给出两个表述：
1，A=(0，1)是全体纯小数的集合；
2，0.999999⋯是纯小数。
他认为这两个表述都是对的，并从这两个表述得出一个结论：0.999999⋯<1。
我分两种情况论之。
第一种情况：假设他对“纯小数”的定义是：“大于0且小于1的数”。下面先按此定义讨论。
这时，第一个表述是正确的，因为A=(0，1)确实表示全体大于0且小于1的数的集合；
第二个表述是错误的。事实上，在这种定义下，以及在“0.999999⋯大于0但不大于1”的认同下，“0.999999⋯是否是纯小数”与“0.999999⋯是否小于1”是同一个问题。本质问题说清以后，“纯小数”这个工具完全没用了。而“0.999999⋯是否小于1”呢？我的回答：0.999999⋯不小于1！我支持0.999999⋯=1。所以0.999999⋯不是纯小数。
至于为什么0.999999⋯=1，需要用实数的构造理论来解释。我可以在这里做个形象的说明：实数与数轴上的点是一一对应的，而数轴上任何两个点之间都可以插入第三个点；但点0.999999⋯与点1之间却不能够插入第三个点，所以0.999999⋯与1表示同一个点。
第二种情况：他对“纯小数”的定义是：“形如0.xxx的数”。下面再按此定义讨论。
这时，第二个表述是正确的，因为0.999999⋯确实可以写成0.xxx的形式。
但第一个表述却有了疑点：A=(0，1)是不是全体纯小数的集合？我的回答：不是！因为A=(0，1)不包括0.999999⋯这个“纯小数”。我已说过我支持0.999999⋯=1，在我看来0.999999⋯不在A=(0，1)内。
综合上面两种情况，“纯小数”这个工具并没有给他找到“0.999999⋯<1”的证据。
最后，提两点我的看法：
1，0.999999⋯与1是否相等，在有理数域内不能得到解答，因为有理数域不是完备的；“0.999999⋯<1”只是一种表象。
2，“百度百科”对“纯小数”、“纯循环小数”的解释是模楞两可的：既说“纯小数与纯循环小数是两个不同的概念，不可望文生义”，又说“纯循环小数属于纯小数”。如果还有人要找“0.999999⋯<1”的证据，最好不要涉及这类尚未厘清定义的东西。（当然这些“证据”最终都是无用的，因为数学家们已经在把有理数域扩充为实数域的过程中论证了：0.999999⋯=1。）