看到一个讨论连续与可导的贴子：函数在一点处连续，且在这一点处的一个极限存在，证明函数在这一点处可导。（原贴：http://tieba.baidu.com/p/3338464241。）
有热心吧友提供了一个证明，涉及到了“无限个无穷小之和”的问题。不知何故，证明中直接得出“当n趋于无穷大时，n个无穷小之和仍为无穷小”的结论。（若是参考名师视频，当是没有完整转述视频内容吧？）原贴楼主提出疑问：无限个无穷小之和仍是无穷小吗？跟帖中没人作出回答。
本贴对此作出回答：无限个无穷小之和不一定是无穷小。无限个无穷小之和可能是无穷小，也可能不是无穷小。仍是无穷小的例子就不说了，下面举一个不是无穷小的例子：un(x)=n!x^n，n=1，2，…。
接下来，本贴试图对那个证明进行完善，主要是对该证明中所涉及到的“无限个无穷小之和”问题的处理：证明了这里的无限个无穷小之和仍是无穷小；在叙述方式上，采用不等式关系进行估计。
吧内可能有不熟悉符号sup的。sup表示一个数集的上确界，也就是这个数集“最小的上界”。根据确界定理，有界的数集一定存在上确界与下确界（但不一定存在最大值和最小值）。
欢迎各路大神指正！