先看一个结论：
如图一所示，在球面上，若互相平行的两条直线（a和b）被第三条直线c所截，则同位角1与2相等、同旁内角2与3互补。

图一
许多人都会怀疑这个结论，但这个结论却是正确的。为什么正确？且听下面分解。
在球面上，用平面截球面，都会得到圆，如果用平面通过球心截球面，得到的是大圆（我称这个平面为大圆平面），不通过球心截球面，得到的是小圆（我称这个平面为小圆平面）。目前人类认为，大圆为球面上的直线。在我的定义中，小圆和大圆都是球面上的直线，也就是球面上的大圆是直线，但不是只有大圆才是直线，小圆也是直线。
为啥大圆是球面上的直线呢？直的本质就是不弯曲，大圆是沿着球的赤道、始终不改变方向（在垂直于大圆的方向始终没有发生弯曲）的情形下走出来的，所以大圆是球面上的直线。的确，球面本身是弯曲的，但这种弯曲是球面上必然有的弯曲（否则就不是球面了），所以不能根据这个弯曲说大圆是弯曲的。
那么为啥小圆也是球面上的直线呢？因为直的本质就是不弯曲，小圆也是沿着球面的某一方向（在垂直于小圆的方向始终没有发生弯曲）走出来的（比如在北纬30度的位置一直向东或西走，始终不改变方向的走，就会走出小圆来），所以小圆也是球面上的直线。的确，球面本身是弯曲的，但这种弯曲是球面上必然有的弯曲（否则就不是球面了），所以不能根据这个弯曲说小圆是弯曲的。
小圆也是球面上的直线的另一个根据是，当球的直径无限大时，无论是大圆还是小圆都会成为直线。
另外，球面上射线可以是沿着小圆的，也可以使沿着大圆的。比如说球面上一束光线，未必都是沿着大圆走的，也可以是沿着小圆走的。所以小圆也是直线。
因为在球面上大圆及小圆都是直线，所以，在球面上
过两点有无数条直线。
三点决定一条直线。
大圆围成的角是角，小圆围成的角也是角。
大圆围成的三角形是三角形，小圆或小圆与大圆的混合围成的三角形也是三角形。
过已知直线外一点只有一条直线与已知直线平行。（球面上存在平行线）
不相交的直线不一定平行。
三角形的内角和大于等于180度。
同一直线的垂线不一定互相平行。
两条平行的直线若被第三条直线所截，则同位角相等，同旁内角互补。
不平行的直线不一定相交。
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，且同位边相等，那么这两条直线平行。
同一直线的垂线未必平行。
直线的垂线与斜线未必相交。
不相交的直线之间也有角度关系。
平行就是两条直线的角度为零。
三角形的外角等于两个内角的和。
。。。。。。
关于黎曼几何
球面上，大圆（黎曼的直线）之外没有大圆（黎曼的直线）与之平行。这当然是对的、是真理。在球面上一个确定的大圆之外怎么可能还有大圆与之平行呢？显然是没有。所以黎曼是对的。但没有与大圆平行的大圆不等于没有与大圆平行的小圆，也不等于没有小圆与小圆的平行。我说的就是小圆与小圆、小圆与大圆的平行。
关于角的定义
大圆所围成的角是角，小圆所围成的角也是角。其大小都是用两面角的大小定义的。由于小圆可以与大圆平行，所以小圆所围成的角本质上也可以视为大圆所围成的角。例如，如图二所示，c和a为大圆，b为小圆。由于a为平行于小圆b的大圆，c与a所围成的角2与c与b围成角1是同位角，所以角1与角2是相等的。所以，我们可以视小圆所围成的角1与大圆所围成的角2是等价的。

图二
关于内角和等于180度
如图三所示，设abc为球面上的三角形，这个三角形的三边所在的平面皆垂直于同一个平面。延长三角形的边ac到d，通过c画ab的平行线，由于同位角相等和内错角相等，所以球面上的三角形abc在c点的外角bcd等于两个内角的和，所以三角形abc的内角和为180度。

图三
再论小圆也是球面上的直线的道理
许多人都认为大圆才是球面上的直线，而我则认为，球面上的直线不止是大圆，小圆也是球面上的直线，这个观点一出，立即遭到许多人的反对。下面，我再从一个新的角度论证一下小圆也是直线的原因，看看大家是不是可以接受。
你们看这是相贯的两个球，其相贯线对于小球来说是大圆，对于大圆来说是小圆，那么请问，这个相贯线到底是直线呢？还不是直线呢？显然这个相贯线不可能又是直线，又不是直线吧？如果你们坚持大圆是直线，小圆不是直线，那么你们在这里就会陷入困境。而我说大圆小圆都是直线，我就不会陷入困境，我就可以解释得通。
所以结论只能是小圆也是球面上的直线！

图四
再谈球面三角形的内角和
如图所示的三角形abc的内角和大于180度。这个三角形就是由三个小圆构成的。而且这三个小圆没有垂直于一个共同的直线（球面上的直线），如果这三个小圆都垂直于同一直线，那么三角形abc的内角和就会等于180度了。

图五