证法一:利用A的Jordan标准型来证明。设可逆阵P使得P逆AP=J，将J分解为X+Y，其中X是J的对角元，不妨记作X=diag(λ_i*I_{n_i}),则Y幂零(只有次对角线上有0或1 其余元全为0)，易验证X,Y乘法交换。从而令B=PXP逆，C=PYP逆，则B可对角化，C幂零，分解合理。存在性证毕

再证明唯一性:若存在B1,C1也满足条件。则B-B1=C1-C，由于C,C1幂零，则C1-C幂零，又B1,B均可对角化，故存在全空间的一组基M, s.t. B1, B在M下矩阵均为对角阵(设二者对角化的过渡阵是T1, T。T1逆BT1=∧1, T1逆BT1=B' 则存在T2,使得B'相似对角 从而T1T2 之积可使B,B1同时对角化) 故一可对角化矩阵幂零，显然这样的矩阵只能是0。这是因为，将B-B1对角化后，C1-C相似得到的矩阵仍幂零 设幂零指数为k 两边k次方 由对角矩阵运算 知对角矩阵是0阵 再扒掉相似过渡阵 得 B-B1=C1-C=0 唯一性证毕

证法二:利用根子空间分解，设线性变换A在某组基下矩阵为A 其特征值为λ1,...λt互不相同,代数重数n1,...,nt。则全空间V=诸Ker(A-λiI)^(ni)的直和，令多项式fi=∏(j≠i)(λ-λj) 显然诸fi互素，由Bezout's Thm，存在u1,...,ut多项式 使得u1f1+...+utft=1 任取向量αj属于Ker(A-λjI)^nj 用上式作用得 对任意i,j 有uifi(A)(αj)=Kronecker(i,j)*αj
故令线性变换B=∑λiuifi(A) 取诸根子空间的基 组成V的基{αij} 显然B在此基下矩阵是diag(λiIni) B对角且是A的多项式。令C=B-A 则C(αij)=(λiI-A)αij 两边ni次方得C幂零。存在性证毕

唯一性: 若还有B' C'满足 则由B,C是A多项式 可知B,A,C可乘法交换(好吧这应该是在存在性里面证明的) 可验证B' C'与A分别交换 进而它们和F[A]交换 进而B' C' B C两两乘法交换 从而BB'=B'B 可得二者可以同时对角化 进而B'-B可对角化 =C-C' 由C-C'幂零。同证法一得这样的矩阵只能是0阵。因此B,C唯一。证毕

进一步地。可以证明A可以分成这两个线性变换的直和