民科的身份是什么？大多是初高中老师，或者一些初高中学生。
民科研究些什么？大多是数学，物理。最常见的如证明费马大定理，哥德巴赫猜想，相对论，永动机。
民科研究的方法是什么？初等数学，加减乘除，高端点的是数列。
以上差不多是民科的群体特征，不难发现一些原因。
为什么初高中水平的人会容易成为民科？因为实在学识太浅薄。他们就象井底之蛙，根本不知道目前人类对这些基础科学的发展已经到了什么境地。你以为就些加减乘除，数列求导，人类文明能进展到这个地步吗？卫星能上天吗？摩天大楼建得起吗？人学得越多，才越发现自己浅薄。说实话我大三学了一门专业课在拉格朗日求极值时，需要用到矩阵微分，而老师当时说的话让我很震撼：“你们本科四年可能没机会系统正式地学这块内容了。”我当时就意识到，本科的数学知识是多么的皮毛。不记得哪位名人说过真理是大海，自己只是捡贝壳，那是学识得到怎样浩瀚的境界才说得出如此的感叹啊！
为什么民科喜欢研究相对论之类？因为在他们的世界里这些算是太高端，而由于媒体宣传或课本介绍之类，他们大概也只能接触到这些问题，于是便一腔热血地投入到其中。殊不知这些真的只是非常基础或者已经研究烂的东西，不然怎么可能把他放入面向大众教育的课本呢？
为什么民科执著于运用数学运算证明，因为初高中教育实在也只教会他们这些东西。你见过有哪个民科研究怎样攻克癌细胞吗？研究纳米材料吗？这么说来数学算是门槛低，一只笔就可以。只可惜，这也只是表面现象。作为连高等数学，线性代数，概率统计这样最基本的课程都没修过的民科，还能指望做出点什么吗？积分大概几种基本方法都不会，更何谈前沿的空间特征。
说到底，民科大多是怀才不遇的普通老百姓，不甘现状，又自恃清高。其实大可不必。每个人有每个人的生活轨迹，即使是那些研究专家，并没有想像中的名利滚滚。所以，做好本分才是对社会有贡献。
而至于谈吐间流露着民科气息，试图通过“高深”的提问打动北大教授的高中生们，请好好准备高考吧，进到高等学府后再谈学术。那些开口闭口相对论的同学们，真的，你们真的还没到需要不拘一格降人才的地步。

再讲讲数学。由于实在是今后研究的重要工具，又基于楼主专业需要有所了解，因此不妨在此展示一下楼主已知的、还浅薄得很的数学世界。
初中毕业的时候楼主曾经认真的想过：“我已经学了那么多数学知识，代数我也会，几何我也会，数学难道还有什么可学的么？无非难度再大点的变形，高中真不知道还有什么新的可学。”
当然不出意料到高中被向量、圆锥曲线、求导、排列组合之类神奇的东西虐得死去活来后，我深刻地意识到不能小看数学。不过高考完以后，我想这些东西好歹在日常生活中还有所耳闻，大学难道还有更难的东西么？
大一刚进来就有师姐教育：“大一以前的数学，无非加减乘除，顶多叫算术罢了。”于是，我的受虐之旅就开始了。数学，伴随人类文明发展至今，已经完全超出了正常人的想像。
基础的三大块就是数分（高数），高代（线代）和概统了。一一说下我的游记。
高等数学，从极限出发，基本展开成微积分和级数。微积分对应的是连续，级数对应的是离散。一开始学ε-δ语言，准确定义出极限连续，介绍微分和高阶微分后，就开始各种方法积分，然后拓展到空间中有二重积分至多重积分，和另一条路针对曲线是第一型积分和第二型积分，额外还有补充无穷积分和瑕积分等。级数（类似数列求和）是离散下的情况，主要围绕级数的收敛问题，一大堆判别法。后来的重头戏是拉格朗日中值定理，再拓展到泰勒级数展开（展成高阶导），以及傅立叶级数展开（展成三角函数）。
至于数学分析，我已知的是一开始就有实数集完备性几大基本定理如区间套定理柯西收敛定理。然后必须介绍黎曼积分的特征七七八八。楼主才疏学浅只了解到这，数分在数院要学3个学期。
线性代数，从行列式入手讲到矩阵，最后讲到线性空间，主要用来对付方程组、向量等高维情况。（说实话我初中曾经有民科倾向，因为我老是在想四维是个什么状况，怎么想像，很不幸数学家早就把高维研究烂了，还是如此基础的一门数学）。一开始是行列式的特征和计算，然后到矩阵的特征和运算（乘法和求逆啊），讲到比较深入的特质如秩，拓展到矩阵相似同构之类，运用特征根和特征向量，然后是二次型，最后拓展到一般线性空间，通过矩阵研究线性空间的共性。
高等代数比线性代数不看计算，更重对空间的理解。空间最重要的特征是维数和基。
概率统计分成概率和统计两部分（这完全是楼主的血泪史，专业学一遍，数双还分开分别当两门又学了一遍）。如果拿高中的概率统计来衡量，那就完全错了，因为排列组合仅

有了这些基础数学知识，那就可以向真正的数学迈进啦！！再介绍自己“参观”过的几门比较精彩的数学。
实分析，简单的版本是实变函数。“实变函数学十遍”是口口相传的谚语。其实我上的时候书的全名是实变函数与泛函分析，课水就只讲了实变部分，泛函貌似是讲Hibert空间，我也不懂就不多说了。
实变函数字面是讲实数变量的函数，当然对应着复变函数。而整门课先从**论开始，把可数不可数（不是英语谢谢）全都科普一遍后，马上深入勒贝格的内心世界——全踏马都是勒贝格积分。这是一个神奇的积分。从勒贝格集开始，在勒贝格集上做勒贝格积分，简单来说貌似是针对因变量的积分。讲理论时涉及一致收敛处处收敛几乎一致收敛几乎处处收敛依概率收敛等神奇的收敛（需不需要我来断句），以及神奇的定理如fubini等（但愿我没拼错这个日本人）
这门课上课是听不懂的，看书也是看不懂的，动笔也是不会的。这是我有生以来唯一靠背的数学，背反例。曾经是把康托集背得烂熟，现在也完全忘光了。
抽象代数，又名近世代数。又是一门上课听不懂，看书也是看不懂的课，不好意思的是我连考试题都看不懂，最后不知道写了些什么上去，感觉复习白瞎了。不过真心觉得这门课更好理解，更深刻，更有用。抽象代数是想把所有的代数结构抽象成数学语言，以方便统一研究。比如，我们说的数，12345，到底是什么东西？而加法乘法又是什么？他们有什么特征？对，就是学这些蛋疼的东西，也就是传说中的群环域，整门课也就围绕这三块依次展开。光着三个东西的定义就可以让人想把头割下来卤了，比如整数环和一元多项式环都是环，因为他们有加法和乘法两种运算，并且加法封闭可交换可结合可逆，乘法封闭可交换（但不可逆），加法乘法有分配律。接下来就是说环有理想（没错理想也是有定义的），极大理想，然后blabla的定理，到商环引出环同态基本定理。没有什么计算，就是一堆定义。考试的时候一堆大题考循环群和交换群，然后我整个就不知道写什么上去。

总之，以上展示的仅仅是一些课程内容，远非学术所做的事。学术什么的，还真不是上上课考考试就ok了的。
仅仅是希望民科之类看看外面的世界，比对比对自身。别老觉得优越，在井里，当然优越。