是否初等函数都能展开成泰勒级数？

这是否一个现成的定理？如果不是，是否有现成的反例？

对的，在定义区间内都可以展开

@Herst6

刚百度了，仅仅无穷阶可到是不够的，还要余项趋于零

http://tieba.baidu.com/p/1743754142
似乎这个帖子里面有个反例

初等函数f(x)在定义区域内可展开为Taylor级数，但不一定收敛到f(x)……

f(x)=e^(e^x)的前几阶导函数如下：
1阶=f(x)e^x
2)=f(x)(e^2x+e^x)
3)=f(x)(e^3x+3e^2x+x)
4)=f(x)(e^4+6e^3x+7e^2x+e^x)
……
目测无法在任意点展开成具有非零收敛半径的泰勒级数

唉，假如要深究，就要拓扑到复变函数，本来发的网址发现打不开，你们自己百度吧，初等函数泰勒级数一定收敛到原函数

你的意思是e∧e∧x的泰勒余项不为零？那就得请你给出证明了！

Herst6：唉，自己证明也不难嘛，

用积分余项来看，初等函数在定义区间连续，所以对于任意取定的x，积分余项中积分那一项必然有界，分母趋于无穷，则积分余项必然趋于0，所以必然可以展开

这样可以懂了吧

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