都是一些复合函数极限的简单东西，就略过啦

噩梦要来了......123好可怕
c）用前述结论，∏（1+a_n）收敛当且仅当∑ln （1+a_n）收敛，则a_n→0，则ln （1+a_n）~a_n，依前述结论得同敛散。
9.a）我不会，谁救我
b）我们来证明这个极限＝sin x/x
sin x
＝2sin x/2 cos x/2
＝4sin x/4 cos x/4 cos x/2
......
即sin x＝ 2n sin x/2n ∏cos x/2n
故sin x除那个无穷乘积
得n→∞ 2n sin x/2n ~2n× x/2n＝x
设无穷乘积为L
即sin x/L＝x
L＝sin x/x
韦达公式也是很容易从这里推出来的
c）对于任意x而言
f（x）
＝cos²x/2 f（x/2）
＝cos²x/2 cos²x/4 f（x/4）
......＝sin² x/ x² lim（n→∞）f（x/2^n）
＝sin² x/x²，f（x）解得

a）很简单，∏（1+β_n）＝（b_1/b_2）×（b_2/b_3）×......×（b_n/b_n+1）
＝b_1/b_n+1
由前述已知结论，∑（β_n）绝对收敛说明b_1/b_n+1收敛
则b_n+1也收敛，否则，只有b_n→∞一种可能。证伪之即可
由于β_n绝对收敛，若收敛于0，则说明β_1＝β_2......＝0
则b_n＝b_n+1，b_n依旧收敛 且收敛于b_1
b）不会，以后吧
（懒⑨_⑨）
c）是不是又打印错了......

很惭愧 只会这些水题，不想挂出来丢人现眼......连续函数这一章我算是废了。

挂一道坑题，没错就是3，我怎么就是搞不来......

椭圆的光学性质~
待我回学校算算第三题

鉴于本人低下的物理水平。水的形状由什么决定我完全不知道。而且由于水杯在水平旋转，那么竖直方向的合力显然为0。竖直方向有水的压力与重力，则水压＝重力。而根据生活常识也知道，水离旋转轴越远，水面越高。也就是速度越快越高，wdm，真的不会涉及什么某伯努利原理吗？

写到一半想起来，我不是喵的已经推出正交分解的公式了么。
向量（gf）即合加速度，其分量已经不言而喻了。
而水平分量嘛，
-gf’（x）/（f’（x）²+1）显然当f’（x）＝0时最大啦，也就是滚到最下方顶点处咯

处处不可导的连续函数
我们先构造
f_n（x）＝
∑（from 1 to n）φ_k（x）
很显然，一切可以表为k+1位二进制小数都是该函数导数的间断点。
对于任意0＜ε＜2，无论怎样的δ＞0，只要n足够大，总可以使
（f_n（x+δ）-f_n（x））/δ
的振幅大于ε
故这个极限值是不存在的！（正好循环到辉针城的小人族~little princess......情不自禁地加了个感叹号→_→）

1）其实就是泰勒多项式的构造嘛......不难的。
2）
a）
f’（x）＝exp （-1/x²）/2x³
（当x≠0）
f’（0）＝0（因为当x→0时，f（x）/x＝0，幂函数是怼不过指数函数的）
b）
f’（x）＝2xsin 1/x-cos1/x
（当x≠0）
f’（0）＝0（同理，当x→0时，0＝-x≤x sin 1/x≤x＝0）
c）f^n（x）分为以下几部分组成，当x→0时
exp（-1/x²）/x^α →0
根据求导的阶数不同，也自然有不同的形式，但是本质上都是如此，故无穷次可微，且在点0处连续为0。
d）在0处 cos 1/x显然不连续→_→。故f’（0）＝0是第二类间断点

连续函数强袭归来，正好做了一道题

5）套定义好了
6）没有例子
7）等下