在求极限（尤其涉及加减）时，无穷小替换的精确度问题

在算极限过程中，有朋友经常对于涉及加减的无穷小替换存有疑惑。搞不清楚到底什么时候使用无穷小替换是绝对安全的。
接下来我要讲的，希望能达到让你直接明白何时能替换（不论在哪种极限运算中）
请看底下这三个例子：

在讲这在讲这个问题之前，我们先来回顾一些基本的麦克劳林公式

细心的同学可能就发现了，这个麦克劳林跟我们常见的好像有点不太一样。我们常见的麦克劳林公式，后面的皮亚诺余项的无穷小阶数一般都是跟最后一项幂函数的指数保持一致的。例如这样的：

我想说的是，两种表示方式都是对的，麦克劳林的原始式子是这样的，后面的皮亚诺余项的无穷小阶数确实是跟最后一项幂函数的指数保持一致的。


而上图这样表示，其实是因为sinx跟cosx，恰好它们下一项幂函数前面的系数都是0，用人话来说就是：

所以，当我们回到开头的三个例子，把它们无穷小替换的完整步骤写全的时候，我们就明白了。前两个例子正确是因为：

而第三个例子错误是因为：

你无论按照哪种麦克劳林去展开，它的极限都是不存在的，如果有小伙伴不明白它极限为什么不存在，请看下面：

o（x）的全称叫比x高阶的无穷小，由上图的例子，我们随便举了几个比x高阶的无穷小，导致了不同的结果，而我们知道极限存在必唯一，所以很明显该极限不存在。
如果图文形式没看够，可看我在b站的视频版讲解，ID：成大器young