1357×111111=150777627.
1357/9=150.....7
1357×111111
=(150*9+7)×111111
=150*9×111111 + 7×111111
=150*999999+777777
=150 000000-150 + 777777
=149 999 850 +777 777
=150 777 627
分析 对于任意一个数 A 都可以分解成 B*9+C
分析B有D位 全1数 超过 D位 就能出现 中段开始出现“全x数”(不精确后面解释)
其中 后段=全9数-B+全C数+1 (其中 这个东西 可能出现进位) 是否进位后面有用
前段=B-1(如果有进位 这个1 就不减)
中段 就是全C (如果没有进位 就是全C 最后一个C-1 lg5555555555554)
可以证明 中段数 一定不会是0
(我认为这个也是很重要的结论
但是 那个老周 没有说明出来就一直说他的各种理论 就很恶心)
超过 D位 就能出现 中段开始出现“全x数” 现在解释 就不一定精确
我们创建一个数 让它中段 是3
有让它的前段也是3结尾 有可能 你就会说 没超过D也能出 全X
按照这样设计 C=3
如果进位 ***3 且这个数小于 3333
如 B=1293 结果A=11640 D=4 (发现 A 又变成10的倍数 完全是 A=1164 的结果*10)
前段 1293 后段 9999-1293+3333+1=12040 (后段是2040 有进位1)
所以结果是 1293 33333 2040
这个前段 是1293 后段是 2040
当里这样分析 A=11640 其实 后面有0 就是 A=1164 的结果 后面+0
A=1164 B=129 C=3 D=3
所以后段=999-129+333+1=1204(后段是204 有进位1)
前段是 129
所以结果是 129 33333 204 0

一个正整数M乘以适当重数的“全1数”后，会生成的“中段全x数”。假设M的位数为m，“数字根”为s(注释：“数字根”是指：将一正整数的各个数字相加，若加完后的值大于等于10的话，则继续将各个数字相加，直到其值小于10为止所得到的数，即为数字根。例如54817的数字根为7，因为5+4+8+1+7=25，25大于10则再加一次，2+5=7，7小于10，则7为54817的数字根。
有如下结论：
1，x的取值是什么规律？
生成的“中段全x数”的x=s；
2，中段什么时候开始出现“全x数”？
如果正整数M的位数为m，那么,M乘以m重全1数或(m+1)重全1数后开始出现“全x数”.
("乘以m重"还是 "乘以(m+1)重“，与M的大小相关）
3，“前段”和“后段”怎么算出来的？
可以在开始出现“全x数”时看出来（详见上述的2）。
以下各例，M都是六位数。
例1：M=131211
例2：M=134624
例3：M=205789
下面的M较大。
例4：M=644321
例5：M=975028
例6：M=999995
感兴趣的吧友可算算看，体验一下。

以上了解了“全1数”生成的“中段全x数”的规律，这就不难解答下面问题：
求“5678×11……11（1百个1）”的数字之和。

4楼问题：求“5678×11……11（1百个1）”的数字之和。
解：
一，先算出5678的数字根：5+6+7+8=26，2+6=8；
二，再算出5678×1111=6308258。注意到；4个1时，开始出来中段的8；
三，可知：5678×11……11（1百个1）=6308……8258，中段8的个数=100-3=97；
这就可以算出5678×11……11（1百个1）的数字这和=6+3+0+8×97+ 2+5+8=800.
练习题：求“7788×11……11（1百个1）”的数字之和。

与“全1数”相关问题有很多，前面是第一个问题：“全1数”生成的“中段全x数”。
下面来看与“全1数”相关的第二个问题。
我们不难有以下的“全1数”分解式：
111=3×37；
1111=11×101
11111=41×271.
更多位的“全1数”的分解，我们可利用“质因数分解工具”得到。
我们感兴趣的是像1111=11×101这样的分解。它是把一个“全1数”分解成：位数少一些的“全1数”与一个“101数”的乘积的形式。
与“101数”类似的还有：1001001……1001、100010001……10001之类的数。也就是“若干个1之间夹着相同个数0”的数。我统称它们为“1零1数”。
问题：请把“六位全1数”111111分解成“全1数”与“1零1数”乘积的形式。
有两个答案：111111=11×10101=111×1001.

练习题：请把“八位全1数”分解成“全1数”与“1零1数”乘积的形式。

6楼练习题：请把“八位全1数”分解成“全1数”与“1零1数”乘积的形式。
有三个答案：
11111111=11×1010101=1111×10001=11×101×10001.
再来一题：请把“十二位全1数”分解成“全1数”与“1零1数”乘积的形式。

7楼问题：请把“十二位全1数”分解成“全1数”与“1零1数”乘积的形式。
提示：注意到：
1，“101数”乘以10、11、12、……、98、99后，即得“全10数”、“全11数”、“全12数”、……、“全98数”、“全99数”；
2，“1001数”乘以100、101、102、……、998、999后，即得“全100数”、“全101数”、“全102数”、……、“全998数”、“全999数”。
如此等等。
把这样的规律用在11、111、1111、……，就可以轻松解答这类问题。
本题：请把“十二位全1数”分解成“全1数”与“1零1数”乘积的形式。
就是照此写出的。
一共可写出七种形式。具体答案略去。
请回顾7楼的：把“八位全1数”分解成“全1数”与“1零1数”乘积的形式。
有三个答案：
11111111=11×1010101=1111×10001=11×101×10001.

与“全1数”相关问题有很多，前面看到了2个问题：
第一个问题：“全1数”生成的“中段全x数”。
第二个问题：把一些“全1数”分解成“全1数”与“1零1”数乘积的形式。
下面来看“全1数”相关问题的
第三个问题：求n位全1数11……11的平方。

10楼问题：求n位全1数11……11的平方。

众所周知，在1≤n≤9时，全1数的平方有非常明显的规律：
1²=1
11²=121
111²=12321
1111²=1234321
11111²=123454321
111111²=12345654321
1111111²=1234567654321
11111111²=123456787654321
111111111²=12345678987654321

显然，n≥10时，这个美妙的、简单的规律会被打破。那么，有什么的规律呢？
具体算几个观察一下应该能归纳出来吧！

具体算几个n≥10时的“全1数”的平方：
10重全1数²=123456790 0987654321
11重全1数²=123456790 12 0987654321
12重全1数²=123456790 1232 0987654321
13重全1数²=123456790 123432 0987654321
请观察一下，能看出什么规律？能归纳一般的结果吗？

关于11楼，本公爵有话要说
观察到当 n=1 时，全1数的平方为 1，符合规律。（这是当然的）
假设对于某个 k（1≤k≤9），当 n=k 时，全1数的平方满足规律。即就假设 111...111（共 k 个 1）的平方为 123...321（共 2k-1 个数字）。
现在就来证明当 n=k+1 时，全1数的平方仍然满足规律。
已经知道 111...111（共 k+1 个 1）可以表示为 10^k + 10^(k-1) + ... + 10^2 + 10^1 + 10^0。
将其平方展开，可以得到：
(10^k + 10^(k-1) + ... + 10^2 + 10^1 + 10^0)^2
根据多项式展开的规则，可以将其展开成一系列项的和，每一项都是两个 10 的幂的乘积。
展开后每一项的形式为：(10^i * 10^j)，其中 i 和 j 都是介于 0 和 k 之间的整数。
就可以将每一项进一步展开，得到：10^(i+j)。
因此，展开后的每一项都可以写成 10 的幂的形式。
来观察展开后的每一项的系数。
对于两个 10 的幂的乘积 10^(i+j)，其系数可以通过计算两个幂的指数之和来确定。
即，每一项的系数为 i+j。
根据假设，当 n=k 时，全1数的平方为 123...321（共 2k-1 个数字）。
又观察到，对应于每一项的系数为 i+j 的数字，其位置分布是对称的。
根据对称性，就可以得出结论：当 n=k+1 时，全1数的平方为 123...4321（共 2(k+1)-1=2k+1 个数字）。
因此，根据数学归纳法，就可以得出结论：在 1≤n≤9 的范围内，全1数的平方满足规律。
然而，当 n≥10 时，由于数字位数的增加和计算过程中的复杂性，规律性逐渐消失，变得难以预测。
因此，可以得出结论：在 n≥10 的情况下，全1数的平方不再具有明显的规律。

哈！这很有趣！
我发现应该这样看！根据12楼的示范：
10重全1数²=123456790 0987654321
11重全1数²=123456790 12 0987654321
12重全1数²=123456790 1232 0987654321
13重全1数²=123456790 123432 0987654321
应该这样看：
10重全1数²=123456790【】0987654321
11重全1数²=123456790【12】 0987654321
12重全1数²=123456790 【1232】0987654321
13重全1数²=123456790 【123432】0987654321
总结规律：
在10重全1数的平方中，前半部分是123456790，后半部分是0987654321，它们之间的数是1。
在11重全1数的平方中，前半部分是12345679012，后半部分是0987654321，它们之间的数是12。
在12重全1数的平方中，前半部分是1234567901232，后半部分是0987654321，它们之间的数是1232。
在13重全1数的平方中，前半部分是123456790123432，后半部分是0987654321，它们之间的数是123432。
结论：
全1数的平方在前半部分和后半部分之间存在一个数，这个数的位数等于全1数的位数减去1。其次，这个数逐渐增加，从1开始，每次增加1。最后，这个数在前半部分和后半部分之间重复出现。
故此，我猜想在n重全1数的平方中，前半部分是123456790...n，后半部分是0987654321，它们之间的数是由1到n递增组成的。

咦咦咦（第14重全1数）

1111111=239*4649
11111111111=21649*513239
1111111111111=53*79*265371653
11111111111111111=2071723*5363222357
1111111111111111111=质数
11111111111111111111111=质数