0楼问题：求“4202位全1数”被 “2024位全2数”除后的余数。
@Unnamed514 @OEIS11221: 给出 了正确答案：154位全1数
请问一般情况，“m位全1数”被 “n位全2数”除后的余数是多少？（n﹤m）

63楼问题：“m位全1数”被 “n位全2数”除后的余数是多少？（n﹤m）
先看一个小数据的例子：求“11位全1数”被 “4位全2数”除后的余数.
通过简单的竖式除法运算，容易得到“11位全1数”被 “4位全2数”除后的余数是
“3位全1数”。由此还能体会到一般情况下的结论。
为了叙述方便，并且读起来通俗易懂，我仍以小数据为例。就是要证明：
“11位全1数－3位全1数”能被“4位全2数”整除。
证明：注意到11=2×4+3，
11位全1数－3位全1数=8位全1数×10^3；
因为“8位全1数×10^3”能被“4位全1数”整除且也能被2整除，所以“8位全1数×10^3”能被“4位全2数”整除；
也就是“11位全1数－3位全1数”能被“4位全2数”整除。
这就证明了：“11位全1数”被“4位全2数”除后的余数为“3位全1数”。
一般地说：
如果m=kn+r，0＜r≤n（注意：不是通常写的0≤r＜n），
那么“m位全1数”被 “n位全2数”除后的余数=“r位全1数”。
证明：略。

65楼证明了：“11位全1数”被 “4位全2数”除后的余数是“3位全1数”.
那么请问：“11位全1数”被 “多少位全x数”（x为一位数）除后的余数也是“3位全1数"？

65楼证明了：“11位全1数”被 “4位全2数”除后的余数是“3位全1数”.
66楼问：“11位全1数”还能被 “多少位全x数”除后的余数也是“3位全1数"？
答：由“11位全1数”被 “4位全2数”除后的余数是“3位全1数”的证明方法（参看65楼）不难得出结论，“11位全1数”被以下的“全x数”除后的余数都也是“3位全1数"：
（空 空） “2位全2数”、“2位全4数”、“2位全5数”、“2位全8数”；
“4位全1数”、“4位全2数”、“4位全4数”、“4位全5数”、“4位全8数”、；
“8位全1数”、“8位全2数”、“8位全4数”、“8位全5数”、“8位全8数”。

73楼问题：要使形如1357913579...1357913579能被11整除，13579的个数最少是多少？
根据“被11整除的特征”，不难得到，13579的个数最少是2.
实际上，假设M是其它的五位数，且不是11的倍数时，那么要使形如MM……M能被11整除，M的个数最少也是2
更进一步，其实，只要M的位数是奇数时，且不是11的倍数时，那么要使形如MM……M能被11整除，M的个数最少也还是2。
现在要问：假设M的位数是偶数，且不是11的倍数时，比如 2025，那么要使形如MM……M能被11整除，M的个数最少是多少？

74楼问题：要使形如20252025……20252025能被11整除，2025的个数最少是多少？
根据“被11整除的特征”，可以知道，最少得有11个2025。

问题：M是多位数，要使形如MM……M能被11整除，M的个数最多只要多少个？

@H云淡风清Z 在73楼的回复中说到：同样，135791357913579能被111整除。
请问，假设M是其它的五位数，且不是111的倍数时，要使形如“MM……M”的多位数能被111整除，M的个数最少也是3个吗？？为什么呢？

77楼问题：假设M是其它的五位数，且不是111的倍数时，要使形如“MM……M”的多位数能被111整除，M的个数最少也是3个吗？？为什么呢？
解：
2个M不行，这是因为MM=100001M中的100001和M者都不能被 111整除；
3个M必可。证明如下：
利用下面这个关于“判断一个多位数能否被 111整除”的方法：“3倍数位相加法”。这个方法是说：把这多位数从右向左每3位为一组分段，然后各段相加。需要时，可反复多次进行，直至明显看出能否被111整除，作出判断。
设M=abcde,则MMM=abcdeabcdeabcde→abc＋dea＋bcd＋eab＋cde。也就是：
(100a＋10b＋c)＋(100a＋10b＋c)＋(100a＋10b＋c)＋(100a＋10b＋c)＋(100a＋10b＋c)=111(a＋b＋c＋d＋e),这显然能被111整除。
所以，MMM能被111整除。
结论：如果M是不能被111整除五位数，那么要使形如MM……M能被111整除，M的个数最少是3个。

上面说的是M是五位数的情况。请问如果M不是五位数，且不能被111整除，那么，要使形如MM……M能被111整除，M的个数最少是多少个？

79楼问题：如果M不是五位数，且不能被111整除，那么，要使形如MM……M能被111整除，M的个数最少是多少个？
可以证明：有两种情况：
一，如果M不能被111整除，且M的位数不是3 的倍数，那么，形如MM……M的多位数能被111整除，M的个数最少也是3个，一般地，应该是“3的倍数个”.
二，如果M的位数是3 的倍数时比如M=128，要使形如MM……M的多位数能被111整除，M的个数最少是多少个？答案是：111个。

与“全1数”相关问题有很多，前面看到了6类问题：
第一类问题：“全1数”生成的“中段全x数”以及相应的数字之和；
第二类问题：把一些“全1数”分解成“全1数”与“1零1”数乘积的形式；
第三类问题：求n位全1数11……11的平方以及相应的数字之和；
第四类问题：能找到几种有规律的计算，得到全1数呢？
第五类问题：求1+11^11+111^111+...+1111111111^1111111111的末两位、末三位……。
第六类问题：求“m位全1数”被 “n位全2数”除后的余数（n﹤m）
第七类问题：要使形如1357913579...1357913579能被11整除，13579的个数最少是多少？
下面看第八类问题：
由数字0-9各一个组成的十位数称为“十全数”，
求“能被11整除的最大和最小十全数”。

82楼问题：由数字0-9各一个组成的十位数称为“十全数”，求“能被11整除的最大和最小十全数”。
解：
一，能被11整除的数的特征是：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数．
即“奇数位上的数字之和”-“偶数位上的数字之和”=11的倍数 ①
另有“奇数位上的数字之和”+“偶数位上的数字之和”=0+1+2+…+9=45 ②
解些方程组不难求得：
“偶数位上的数字之和”=28且“奇数位上的数字之和”=17。或
“奇数位上的数字之和”=28且“偶数位上的数字之和”=17；
二，求解
1，为排出最大的十位数，显然，取“偶数位上的数字之和”=28，“奇数位上的数字之和”=17．前几位的数字应该尽量大。
取“9876偶奇偶奇偶奇”。注意到：奇数位上已经有8+6=14，所以奇数位上另三个数字之和为：17-（6+8）=3，可见，奇数位上的另三个数字只能是2，1，0；从而偶数位上的另三个数字为5，4，3．
由此得到最大的十位数是9876524130．
2，为排出最小的十位数，显然，取“偶数位上的数字之和”=17，“奇数位上的数字之和”=28，前几位的数字应该尽量小。
取“10234奇偶奇偶奇”。注意到：偶数位上已经有1+2+4=7，所以偶数位上另两个数字之和为：17-7=10。但是，剩下的5个数中，最小的5+6=11. 由此可知，前五个应该是10243.
这样立知：偶数位上另两个数字是5和6，进而知：奇数位上的另3 个数字应该是7、8、9。
由此得出的最小数是1024375869．

84楼求出了能被11整除的最大十全数9876524130和最小十全数1024375869。
接着，来求能被111整除的最大十全数和最小十全数。